代数的整数

テンプレート:Distinguish 数論において代数的整数（だいすうてきせいすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、ある整数係数モニック多項式の根となる複素数のことである。代数的整数の全体 テンプレート:Math は加法と乗法について閉じており、ゆえに複素数環 テンプレート:Math の部分環をなす。この環 A は有理整数環 Z の C における整閉包となっている。

代数体 K の整数環 Oテンプレート:Sub は K ∩ A に等しく、また体 K の極大整環（テンプレート:Lang-en-short）となっている。全ての代数的整数はそれぞれ何らかの代数体の整数環に属している。x が代数的整数であることは、環 Z[x] がアーベル群として有限生成（即ち有限生成 Z-加群）であることと同値である。

定義

以下は テンプレート:Math が代数的整数であることの同値な定義である。ここで K は代数体（有理数体 Q の有限拡大）とする。原始元定理より、この K は適当な代数的数 θ ∈ C によって K = Q(θ) とすることもできる。

• テンプレート:Math を満たすモニック多項式 テンプレート:Math が存在する。
• テンプレート:Mvar の テンプレート:Math 上の最小モニック多項式 テンプレート:Math が存在する。
• Z[α] が有限生成 Z-加群となる。
• αM ⊆ M を満たす有限生成 Z-部分加群 0 ≠ M ⊂ C が存在する。

代数的整数は有限拡大 K / Q の整元となっている。即ち代数的整数は環の拡大における整元の特別な場合である。

代数的整数をこのように定義する背景には次のような考え方があるテンプレート:Sfn。まず、有理数に対する整数のように、代数的数全体の集合の中で「整数の集合」テンプレート:Mvar が何らかの方法で定義できたとする。すると テンプレート:Mvar は次の性質を持っているはずである。

(S1) テンプレート:Mvar は加減算と乗算で閉じている。

(S2) テンプレート:Mvar の元の任意の共役は テンプレート:Mvar に含まれる。

(S3) 有理整数はすべて テンプレート:Mvar に属し、テンプレート:Mvar に含まれる有理数は有理整数のみである。

(S4) テンプレート:Mvar は以上の性質を持つ集合の中でなるべく大きいものである。

このような性質を持つ集合 テンプレート:Mvar は実は代数的整数の集合と一致する。実際、テンプレート:Mvar の任意の元 テンプレート:Mvar に対してその有理数体上の最小多項式 テンプレート:Mvar を取ってみる。テンプレート:Mvar の係数は テンプレート:Mvar の共役達の基本対称式であるから、(S2)と(S1)よりこれは テンプレート:Mvar に含まれる。テンプレート:Mvar の係数は有理数であるから、(S3)よりこれらは有理整数である。よって テンプレート:Mvar は有理整数係数のモニック多項式であるから テンプレート:Mvar は代数的整数である。したがって テンプレート:Mvar は代数的整数の集合に含まれる。代数的整数の集合は(S1)～(S3)を満たす集合であるので、(S4)により テンプレート:Mvar は代数的整数の集合に一致する。

代数的整数となる例

• 有理数のうち代数的整数となるのは有理整数に限るテンプレート:Sfn。即ち テンプレート:Math は テンプレート:Math に等しい。有理数 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar を割り切らなければ代数的整数とはならない（多項式 テンプレート:Math の主係数が テンプレート:Mvar であることに注意）。ほか、非負整数 テンプレート:Mvar の平方根 テンプレート:Math が有理整数となるのは テンプレート:Mvar が平方数のときに限り、それ以外のときは無理数となる。
• テンプレート:Mvar が平方因子をもたない整数のとき、拡大 テンプレート:Math は二次体となる。ここで テンプレート:Math はモニック多項式 テンプレート:Math の根であるから、テンプレート:Mvar の代数的整数環 テンプレート:Math は テンプレート:Math をもつ。加えて テンプレート:Mvar が テンプレート:Math を満たすとき、元 テンプレート:Math もまた代数的整数となる。これは、テンプレート:Math を根として持つ二次多項式 テンプレート:Math のテンプレート:仮リンクが、テンプレート:Math のとき整数となるためである。テンプレート:Mvar は テンプレート:Math と テンプレート:Math よりそれぞれ生成される。詳細は en:Quadratic integer を参照。
• 平方因子を持たない互いに素な整数 テンプレート:Math2 に対し テンプレート:Math とし、さらに テンプレート:Math とする。このとき体 テンプレート:Math の整数環は以下の整数底を持つ。

  $\{\begin{array}{cc}1,\alpha ,\frac{{\alpha }^2\pm k^2\alpha +k^2}{3k}& \text{if}m\equiv \pm 1mod9\\ 1,\alpha ,\frac{{\alpha }^2}{k}& \text{otherwise}\end{array}$

• テンプレート:Mvar を[[1の冪根| 1 の原始 テンプレート:Mvar 乗根]]とする。このとき円分体 テンプレート:Math の整数環は テンプレート:Math に等しい。
• テンプレート:Mvar が代数的整数ならば テンプレート:Math もまた代数的整数となる。これは テンプレート:Mvar についての多項式に テンプレート:Mvar を代入すると テンプレート:Math についての多項式が得られるためである。

代数的整数とならない例

• テンプレート:Math をモニックでない整数係数テンプレート:仮リンクで、かつ テンプレート:Math 上既約であるとする。このとき テンプレート:Math の根は代数的整数とならない。（ここで原始多項式とは、係数の最大公約数が 1 であるような多項式のことを言う。これは「係数が互いに素であるような多項式」よりも弱い条件である。）

性質

• 二つの代数的整数の和、差、積もまた代数的整数となる。ただし一般に商は代数的整数とならない。これは代数的整数 テンプレート:Math2 とその積 テンプレート:Mvar について、それらを根とするモニック多項式の次数を比べると、一般に テンプレート:Mvar のほうが高くなるためである。このことは終結式を求めて因数分解することで分かる。例として、代数的整数 テンプレート:Math2 がモニック多項式 テンプレート:Math を満たすとし、加えて積を テンプレート:Math とおく。これらの左辺の多項式から終結式を用いて テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を消去することで、テンプレート:Mvar に関するモニック多項式 テンプレート:Math が得られる。この多項式は既約であり、テンプレート:Math を根に持つ。（テンプレート:Mvar は多項式 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math を定数とみたときの終結式となっている。このことは「与えられた多項式 テンプレート:Math2 の終結式は テンプレート:Math2 が生成するイデアルに属する」ことからも確認できる。）
• 上の理由より、整数から冪根・加法・乗法を用いて構成可能な数は全て代数的整数である。しかしその逆、即ち「全ての代数的整数が整数から冪根・加法・乗法を用いて構成可能」は成り立たない。素朴な例としては、五次の既約多項式の根の殆どは整数から冪根・加法・乗法を用いて構成可能でないことがアーベル・ルフィニの定理から従う。
• 代数的整数を係数とするモニック多項式の根は全て代数的整数となる。即ち代数的整数は、任意の拡大に対し整閉であるような環をなす。
• テンプレート:仮リンクより、代数的整数環 テンプレート:Math はベズー整域となる。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• Daniel A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer-Verlag, 1977

関連項目

• ガウス整数
• アイゼンシュタイン整数
• 1の冪根
• ディリクレの単数定理
• 基本単数
• 整元：代数的整数の環への拡張
• 代数的数
• シルベスター行列