シルベスター行列

テンプレート:出典の明記 シルベスター行列（シルベスターぎょうれつ、テンプレート:Lang-en）とは、2つの多項式が共通根を持つか否かを判定する行列である。名称は英国の数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスターに因む。

概要

2つの多項式を以下のようにする。

$f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^{n-i}=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\dots +a_n$

$g(x)=\sum _{i=0}^m{b}_i{x}^{m-i}=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\dots +b_m$

このとき、$m+n$ 個の変数をもつ連立方程式 テンプレート:Indent が自明でない解 $x_k={\alpha }^{m+n-1-k}(0\leqq k\leqq m+n-1$) を持つことと、$f$, $g$ が共通根 $\alpha$ を持つこととが同値である。この連立方程式の係数行列であるシルベスター行列は以下に示される $m+n$ 次の正方行列である。 テンプレート:Indent

また、この行列の行列式を $R(f,g)$ と表し、終結式（しゅうけつしき、テンプレート:Lang-en; リザルタント）またはシルベスター行列式と言う。 テンプレート:Indent と因数分解するとき、 テンプレート:Indent $f(x)$ と $g(x)$ が共通根をもつための必要十分条件は $R(f,g)=0$ である。多項式 $f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\dots +a_{n-1}x+a_n$ が重根をもつための必要十分条件は $f$ とその導多項式 $f^{\prime }$ が共通根を持つことであり、また、$f$ の判別式 $D(f)$ が $D(f)=0$ となることであるから、終結式と判別式とは互いに関係がある。事実として