形式的冪級数

数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（テンプレート:Mvar を不定元として）

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{X}^n=1+X+X^2+X^3+\cdots +X^n+\cdots$

は（多項式ではない）冪級数である。

定義

テンプレート:Mvar を可換とは限らない環とする。テンプレート:Mvar に係数をもち テンプレート:Mvar を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 テンプレート:Mvar (テンプレート:Math) を テンプレート:Mvar の元として、

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\cdots$

の形をしたものである。ある テンプレート:Mvar が存在して テンプレート:Math のとき テンプレート:Math となるようなものは多項式と見なすことができる。

形式的冪級数全体からなる集合 テンプレート:Math に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。和と積の定義は以下のようにする。

$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{X}^n& :=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n+b_n)X^n\\ \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{X}^n\right)& :=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)X^n\end{array}$

すなわち和と積は形式的に定義し、環の元と不定元は可換であるとする。

より形式的な定義

テンプレート:Mathbf を非負整数全体の集合とし、配置集合 テンプレート:Math すなわち テンプレート:Mathbf から テンプレート:Mvar への関数（テンプレート:Mvar に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し

$\begin{array}{cc}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}+(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}& :=(a_n+b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\\ (a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\cdot (b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}& :={\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)}_{n\in \mathbb{N}}\end{array}$

によって演算を定めると、テンプレート:Math は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 テンプレート:Math である。

ここでの テンプレート:Math は上の テンプレート:Math と対応する。

合成

定数項が 0 の形式的冪級数は、別の冪級数に代入することができる。すなわち、$f(X):={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n,g(X):={\sum }_{m=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{X}^m$ とすると、テンプレート:Math は テンプレート:Math 次以下の項をもたないので、合成

$f(g(X))=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\{g(X){\}}^n$

が意味をもつ。例えば

$\exp (\log (1+t))=1+t$

は形式的冪級数としても正しい等式である。

性質

以下では テンプレート:Mvar を単位元をもつ可換環とし、$f={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n\in A[[X]]$ とする。

• テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の単元であることと テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の単元であることは同値である。
• テンプレート:Mvar が冪零であれば、すべての テンプレート:Mvar は冪零である。逆は一般には成り立たないが、テンプレート:Mvar がネーター環であれば成り立つ。
• テンプレート:Mvar がネーター環であれば、テンプレート:Math もネーター環である。
• テンプレート:Mvar が整域であれば、テンプレート:Math も整域である。
• テンプレート:Mvar が テンプレート:Math のジャコブソン根基に属することと、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar のジャコブソン根基に属することは同値である。

形式微分

$f={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n$ に対し、$f^{\prime }:={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}n\cdot a_n{X}^{n-1}$ を f の形式微分という。テンプレート:Math, テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math, テンプレート:Math などが成り立つ。

これは（複素あるいは実の）収束冪級数と考えると項別微分に相当するものである。

一般化

形式的ローラン級数

有限個の負冪も許したものは形式的ローラン級数と呼ばれる。正確には次の形のものである。テンプレート:Mvar を自然数、各 テンプレート:Mvar を可換環 テンプレート:Mvar の元として、

$\sum _{n=-N}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n$.

このような元全体は環をなし、形式的ローラン級数環といい、テンプレート:Math と表記する。とくに テンプレート:Mvar が体 テンプレート:Mvar であるとき、テンプレート:Math も体であり、これは テンプレート:Math の商体でもある。

多変数の形式的冪級数

任意の個数（無限個でもよい）の不定元をもった形式的冪級数を定義することができる。テンプレート:Math が添え字集合であり テンプレート:Math を テンプレート:Math に対し不定元 テンプレート:Mvar 全体の集合とすれば、単項式 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の元の任意の有限個の（重複を許した）積である。係数を環 テンプレート:Mvar にもつ テンプレート:Math の形式的冪級数は単項式 テンプレート:Mvar の集合から対応する係数 テンプレート:Mvar への任意の写像によって決定され、$\sum _{\alpha }{c}_{\alpha }{X}^{\alpha }$ と表記される。すべてのそのような形式的冪級数からなる集合を テンプレート:Math と表記し、以下のように環の構造を与える。

$\left(\sum _{\alpha }{c}_{\alpha }{X}^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }{d}_{\alpha }{X}^{\alpha }\right):=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }$

および

$\left(\sum _{\alpha }{c}_{\alpha }{X}^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\alpha }{d}_{\alpha }{X}^{\alpha }\right):=\sum _{\alpha ,\beta }{c}_{\alpha }{d}_{\beta }{X}^{\alpha +\beta }$

一変数の場合と同様に、テンプレート:Math である。

テンプレート:Math の場合には、テンプレート:Math とも書かれる。テンプレート:Math である。

性質

• 多項式とは異なり、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。

しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環 テンプレート:Mvar はイデアル テンプレート:Mvar による テンプレート:Mvar 進距離で完備であるとする。このとき $a_1,\dots ,a_n\in I$ であれば、$\sum _{\alpha }{c}_{\alpha }{X}^{\alpha }\in A[[X_1,\dots ,X_n]]$ の $X_1,\dots ,X_n$ に $a_1,\dots ,a_n$ を代入したものは収束する。

• ネーター環 テンプレート:Mvar 上の多項式環 テンプレート:Math の、$𝔪=(X_1,\dots ,X_n)$ による完備化は、テンプレート:Math と同型である。これは $B_{𝔪}$ の $𝔪B_{𝔪}$ 進位相による完備化とも同型である。
• テンプレート:Mvar がネーター環であれば、テンプレート:Math もネーター環であり、テンプレート:Mvar が整域であれば テンプレート:Mvar も整域である。テンプレート:Mvar が体であれば、テンプレート:Mvar は正則局所環 である。

参考文献

• テンプレート:Citation.
• Werner Balser: Formal Power Series and Linear System of Meromorphic Ordinary Differential Equations, Springer, ISBN 0-387-98690-1 (2000).
• 荒川恒男、金子昌信、伊吹山知義　『ベルヌーイ数とゼータ関数』　牧野書店、2001年。ISBN 978-4-7952-0139-2。
• 雪江明彦、『代数学3 代数学のひろがり』、日本評論社、2011年、ISBN 978-4-535-78661-5