加法的多項式

テンプレート:参照方法数学における加法的多項式（かほうてきたこうしき、テンプレート:Lang-en-short）は古典代数的数論において重要なトピックである。

定義

素数テンプレート:Mvar を標数とする体テンプレート:Mvar に係数を持つ多項式テンプレート:Math が加法的（またはフロベニウス多項式）であるとは、 $P (a + b) = P (a) + P (b)$ がテンプレート:Mvar に関する多項式として成り立つときに言う。これはテンプレート:Mvar を含む無限体（例えばテンプレート:Mvar の代数閉包）において、任意のテンプレート:Mvar に対して成り立つと言っても同じことである。

注意: まれに、上記を絶対加法的 (absolutely additive) と言い、やや弱い条件テンプレート:Math を満たすときに加法的と呼ぶ場合もある^[1]。無限体で考えるならば、この二つは同値になるが、有限体では異なり、弱い条件のほうではよく振る舞わないことが出てくる。例えば、テンプレート:Mvar-元体上でテンプレート:Math の任意の定数倍をテンプレート:Mvar とすればテンプレート:Math はその体の任意の元テンプレート:Mvar に対して成り立つが、絶対加法的にはふつうならない。

テンプレート:Nowrap の体テンプレート:Mvar でもこの定義はやはり意味を為すが、この場合の加法的多項式は適当なテンプレート:Math に対するテンプレート:Mvar のみしかないテンプレート:Citation needed。

多項式テンプレート:Mvar は加法的である。実際、テンプレート:Mvar の代数閉包に属する任意のテンプレート:Mvar に対して二項定理により $(a + b)^{p} = \sum_{n = 0}^{p} (\binom{p}{n}) a^{n} b^{p - n}$ が成り立つが、ここにテンプレート:Mvar は素数ゆえ任意のテンプレート:Math に対して二項係数 $(\binom{p}{n})$ はテンプレート:Mvar で割り切れて、 $(a + b)^{p} \equiv a^{p} + b^{p} mod p$ はテンプレート:Mvar の多項式として等しいことを意味する（一年生の夢も参照）。同様に、非負整数テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math の形の多項式は何れも加法的になる。

例に挙げたテンプレート:Math たちの任意のテンプレート:Mvar-係数線型結合が、再び加法的多項式となることを見るのは容易い。そこでそれら以外に加法的多項式が存在するかは意味のある問いであるが、実は加法的多項式はそれらに限る。

加法的多項式テンプレート:Math に対して、点ごとの和テンプレート:Math および合成テンプレート:Math が加法的となることが確かめられる。それにより、加法的多項式の全体がこの和と合成に関して環を成すことが従う。この環をテンプレート:Math と書くことにする。この環はテンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar-元体テンプレート:Math でない限り可換でない。実際、加法的多項式テンプレート:Mvar およびテンプレート:Mvar を取るとき、これらが合成に関して可換であるためにはテンプレート:Math からテンプレート:Math でなければならない。テンプレート:Mvar がテンプレート:Math の元ならばこの方程式の根となれるが、さもなくば等式は成り立たない。

テンプレート:Mvar-係数多項式テンプレート:Math およびその根全体の成す集合テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math の根はどの二つも相異なると仮定する（すなわち、テンプレート:Math は分離多項式）。このときテンプレート:Math が加法的となる必要十分条件は、集合テンプレート:Math が体の加法に関して群を成すことである。

David Goss, Basic Structures of Function Field Arithmetic, 1996, Springer, Berlin. テンプレート:ISBN2.