因数定理

多項式 テンプレート:Math2 は テンプレート:Math2 を根（零点）に持つ。このことから、因数定理より テンプレート:Math と因数分解される。

因数定理（いんすうていり、テンプレート:Lang-en-short）とは、多項式の根から元の多項式を因数分解することができるという定理である。因数定理は剰余の定理の特別の場合になっている。

定理 (テンプレート:要検証範囲)

多項式 テンプレート:Math が一次式 テンプレート:Math を因子に持つ必要十分条件は テンプレート:Math、すなわち テンプレート:Mvar が多項式 テンプレート:Math の根となることである。

概要

多項式の因数分解

テンプレート:Main 多項式を一次式の積に因数分解するのは、「多項式の根を求めること」と本質的に等価な問題であることが分かる。

多項式の根が1つ求まれば、因数分解により、未知の根からなる多項式は次数は下がるため、根をより求めやすくなる。多項式の全ての根を求める手順は以下の通りである：

1. 多項式 テンプレート:Mvar の根 テンプレート:Mvar を「推測する」。（一般にはこれは「非常に困難」である。ただし、係数体が有理数の場合は、有理根定理により、有理根の候補が有限個に絞れる。係数体が実数の場合は、グラフから根の近似値を求めることができる）
2. 因数定理により テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の因子である。
3. テンプレート:Math となる多項式 テンプレート:Mvar を、実際に テンプレート:Math を テンプレート:Math で多項式として（テンプレート:Ill2、テンプレート:Ill2などにより）割ることで求める。
4. テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 以外の根は、テンプレート:Mvar の根である。テンプレート:Mvar の次数は テンプレート:Mvar より一つ下がるから、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 以外の根を求めることは、簡単になる。

多変数多項式の因数定理

テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 個の変数 テンプレート:Math の多項式、テンプレート:Mvar を テンプレート:Math 以外の テンプレート:Math 個の変数 テンプレート:Math の多項式とする。

定理

テンプレート:Math が テンプレート:Math を因子に持つための必要十分条件は、テンプレート:Math となることである。

これは テンプレート:Mvar を テンプレート:Math の多項式と見れば テンプレート:Mvar は テンプレート:Math に関して定数であるから、一変数の場合の因数定理から従う。注目する変数を変えれば、各変数について同様の主張が成り立つ。

例えば テンプレート:Mvar をヴァンデルモンドの行列式

$f(X_1,X_2,\dots ,X_n):=\left|\begin{array}{ccccc}1& X_1& {X_1}^2& \cdots & {X_1}^{n-1}\\ 1& X_2& {X_2}^2& \cdots & {X_2}^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& X_n& {X_n}^2& \cdots & {X_n}^{n-1}\end{array}\right|$

とするとき テンプレート:Math が明らかに成り立つから、テンプレート:Math として因数定理を適用すれば、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math で割り切れると分かる。同様の議論により、テンプレート:Mvar は差積 テンプレート:Math で割り切れると分かる。

例

テンプレート:Math

を有理数の範囲で因数分解する。

有理根定理より、テンプレート:Math の根の候補は

テンプレート:Math

このうち根として適するのは テンプレート:Math2 のみである。

因数定理より、テンプレート:Math は テンプレート:Math を因数に持つ。

組立除法などにより

テンプレート:Math

外部リンク

• テンプレート:Kotobank
• テンプレート:高校数学の美しい物語
• テンプレート:MathWorld