有理根定理

有理根定理（ゆうりこんていり、テンプレート:Lang-en-short）は整数係数の代数方程式

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0=0$

の有理数の解に対する制約を述べた定理である。有理根定理は次のような言明である：

定数項 テンプレート:Math および最高次の係数 テンプレート:Mvar がゼロでないなら、有理数解 テンプレート:Math を互いに素（最大公約数が テンプレート:Math）な整数 テンプレート:Mvar で表したとき、テンプレート:Mvar は以下の条件を満たす。

• テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の約数
• テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の約数

有理根定理は、多項式の因数分解に関するテンプレート:仮リンクの特別な場合に当たる。また、最高次の係数 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math であるとき成り立つ整数根定理 テンプレート:En は、有理根定理の特別な場合である。

証明

直接的な証明

テンプレート:Math なる多項式を考える。互いに素な テンプレート:Math に対して テンプレート:Math を満たすことを仮定する： テンプレート:NumBlk

テンプレート:EquationNote から定数項 テンプレート:Math を右辺へ移項し、両辺に テンプレート:Mvar を掛けることで以下の方程式を得る。 テンプレート:NumBlk

テンプレート:Mvar と括弧内の整数の積は テンプレート:Math に等しく、従って テンプレート:Mvar は テンプレート:Math を割り切れることが分かる。しかしながら、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は互いに素であり、ユークリッドの補題から同様に テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar も互いに素であるため、テンプレート:Mvar は残る因数 テンプレート:Math を割り切ることが示される。

テンプレート:EquationNote から最高次の項 テンプレート:Math を右辺へ移項し両辺に テンプレート:Mvar を掛けることで次の式を得る。 テンプレート:NumBlk テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の場合と同様の理由で、テンプレート:Mvar は最高次の係数 テンプレート:Mvar を割り切ることが示されるテンプレート:Sfn。

ガウスの補題による証明

多項式のすべての係数を割り切る非自明な約数がある場合、その多項式を係数の最大公約数で割った、テンプレート:仮リンクの意味での原始多項式が得られる。この原始多項式の有理根は元の多項式と同じであり、可約条件だけが強められる。 ガウスの補題によれば、ある多項式が有理係数の多項式 テンプレート:Math で因数分解できるなら、整係数の多項式 テンプレート:Math で因数分解することができ、原始多項式の積として表すことができる。

テンプレート:Math の 1 次の多項式が有理根 テンプレート:Math を持つとき、テンプレート:Mvar は互いに素であるとして、その多項式の原始多項式は テンプレート:Math となる。 テンプレート:Math を因数とする整係数多項式 テンプレート:Math について、最高次の係数は テンプレート:Mvar で割り切れ、定数項は テンプレート:Mvar で割り切れるので、有理根定理が得られた。

この事はより一般に、多項式 テンプレート:Mvar の可約でない因数は整係数を持つことができ、その最高次の係数と定数項が、対応する テンプレート:Mvar の係数を割り切れることを示す。

例

例として、方程式

$3x^3-5x^2+5x-2=0$

のいずれの有理根も

$\pm \frac{1,2}{1,3},$

に含まれなければならない。つまり、この方程式の根として可能なものは以下の 8 つである：

$1,-1,2,-2,\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}.$

これらの候補は例えばホーナー法によってテストすることができる。今回の場合、正しい有理根は 1 つだけある。根の候補が方程式を満たさないなら、それを使って残る候補のリストを短縮できるテンプレート:Sfn。例えば テンプレート:Math は方程式を満たさず、方程式の左辺は テンプレート:Math になる。 テンプレート:Math という置き換えをすると定数項を テンプレート:Math とし、テンプレート:Math の係数は テンプレート:Math の係数に等しい テンプレート:Mvar の多項式が得られる。有理根定理を適用すれば、テンプレート:Mvar として可能な根は

$t=\pm \frac{1}{1,3}$

となる。従って、元の方程式の根の候補は次の通りである。

$x=1+t=2,0,\frac{4}{3},\frac{2}{3}$

こうして得られた候補のリストと以前のリストを比較して、両者に存在しない候補は除外することができる。結局、候補のリストは テンプレート:Math に短縮される。

もし方程式の根の 1 つ テンプレート:Math が発見されたなら、ホーナー法によって テンプレート:Math 次の多項式の根が得られる。これらの根は、テンプレート:Math とともに、元の多項式の正確な根になっている。 また、いずれの候補も根でなかった場合、方程式は有理根を持たない。 定数項 テンプレート:Math がゼロの方程式は有理根として テンプレート:Math を持つ。

関連項目

• デカルトの符号法則
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal
• Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, ISBN 0-673-38638-4, pp. 216–221
• Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications 1998, ISBN 0-486-25563-8, pp. 116–117 (テンプレート:Google books)
• Ron Larson: Calculus: An Applied Approach. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2, pp. 23–24 (テンプレート:Google books)

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• RationalRootTheorem at PlanetMath
• Another proof that n^th roots of integers are irrational, except for perfect nth powers by Scott E. Brodie
• The Rational Roots Test at purplemath.com