剰余の定理

多項式に関する剰余の定理（じょうよのていり、テンプレート:Lang-en-short）は、多項式 テンプレート:Mvar (x) をモニック多項式な（つまり最高次の係数が1である）二項一次多項式 x − a で割ったときの剰余は テンプレート:Mvar (a) であるという定理。とくに、テンプレート:Mvar (a) = 0 ならば テンプレート:Mvar (x) が x − a を因数にもつことが分かる（因数定理）。

概要

多項式 テンプレート:Mvar (x) を d(x) で割るとき、次式を満たす多項式 q(x), r(x) が一意に存在する：

$f(x)=q(x)d(x)+r(x)$ ここで $\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}d$

これを多項式における除法の原理といい、このときの q(x) を商、r(x) を剰余と呼ぶ。また、d(x) を除数または除多項式、テンプレート:Mvar (x) を被除数または被除多項式と呼ぶこともある。deg(r) < deg(d) は、多項式 r(x) の次数が d(x) の次数より小さいことを表している（一意性のための条件）。

除多項式がモニックな二項一次式 d(x) = x − a であるとき、次数についての条件 deg(r) < deg(d) は剰余 r(x) が x に関係しないある定数 r であることを意味する。すなわち テンプレート:Math は

$f(x)=q(x)(x-a)+r$

と分解され、さらに x = a とおけば x − a = 0 なので テンプレート:Mvar (a) = r であることが分かる。

同様に、除多項式 d(x) がモニックとは限らない二項一次式 ax + b であれば

$f(x)=q(x)(ax+b)+r$

となる多項式 q(x) と定数 r が一意に定まる。ax + b = 0 となる x, つまり テンプレート:Math2 を代入すれば テンプレート:Math2 を得る。

関連項目

• 除法
• 因数定理
• 中国の剰余定理

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語