多変数多項式

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代数学における適当な単位的可換環 テンプレート:Mvar に係数を持つ多変数多項式（たへんすうたこうしき、テンプレート:Lang-en-short, テンプレート:Lang-fr-short, 多元多項式）は、不定元 テンプレート:Mvar に関する一変数多項式環 テンプレート:Math を一般化する テンプレート:Mvar-結合多元環の元を言う。有限個の不定元に関する多項式環 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に関して帰納的に構成できる。すなわち、この多項式環は、一つの不定元 テンプレート:Mvar の多項式環 テンプレート:Math に係数を持つ多項式全体の成す環である。任意の添字集合 テンプレート:Mvar（無限集合でもよい）で添字付けられた任意個数の不定元 テンプレート:Math に関する多項式環 テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar の任意の有限部分集合 テンプレート:Mvar に対する多項式環 テンプレート:Math を亙る「合併」として定義される。より精確には、テンプレート:Mvar が有限でも無限でも、テンプレート:Math はモノイド環として定義できる。それはつまり、モニック単項式（つまり有限個の不定元 テンプレート:Mvar からなる冪積）全体の成すモノイドを考え、それら単項式の テンプレート:Mvar-係数の形式線型結合として多項式は定義されるということである。

以下本項では、テンプレート:Mvar は単位的可換環とし、テンプレート:Mvar-多元環は結合的かつ単位的な多元環を意味するものとする。

帰納的構成

有限変数の帰納的構成

テンプレート:Mvar 変数の テンプレート:Mvar-係数多項式環 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に関して帰納的に定義されるテンプレート:Efn :

定義により、（帰納的に）直ちにわかることは テンプレート:Math は

上記の帰納的定義をより具体的に書けば、テンプレート:Math の元は P=∑j=0mPjXnj(Pj∈A[X1,…,Xn−1]) なる形の有限和に書けて、さらに各 テンプレート:Mvar は Pj=∑k1,…,kn−1∈{0,…,dj}ak1,…,kn−1,jX1k1⋯Xn−1kn−1(ak1,…,kn−1,j∈A) なる有限和に書けるということになる。あるいは、テンプレート:Mvar 個の テンプレート:Math のテンプレート:Ill2を テンプレート:Mvar として、テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar に属する係数のリストを適当に テンプレート:Math で埋めれば、Pj=∑k1,…,kn−1∈{0,…,d}ak1,…,kn−1,jX1k1⋯Xn−1kn−1 と多少簡単に書けて、最終的に テンプレート:Mvar 変数多項式は P=∑j=0dPjXnj=∑k1,…,kn−1,j∈{0,…,d}ak1,…,kn−1,jX1k1⋯Xn−1kn−1Xnj なる形をしている。

無限変数への拡張

上記の定義からわかることとして:

これらの事実により、任意の集合 テンプレート:Mvar（これは有限でなくても、さらに可算でさえなくてもよい）に対する多項式環 テンプレート:Math を定義することが可能であり、それは テンプレート:Mvar の有限部分集合 テンプレート:Mvar すべてに亘る テンプレート:Math の合併（厳密には帰納極限）として定まる。

いくつかの基本性質はこの定義から直ちに得られる:

モノイド環としての構成

同じ構造を定義するという意味で同値な、別の構成法[1][2][3]は、一変数多項式のときの構成を（不定元の冪の列ではなく冪積の族に対して）「模倣」することからなる。これにより、多項式環の普遍性を鮮やかに示すことができるテンプレート:Efn。

モニック単項式のモノイド

不定元の添字からなる（任意の）集合 テンプレート:Mvar に、テンプレート:Mvar 上のテンプレート:Ill2可換モノイドを対応付ける。

加法的記法を用いて、考えたい自由可換モノイドは、テンプレート:Mvar から非負整数全体の成す集合 テンプレート:Math への、台が有限な写像（つまり、有限個の例外を除く全ての成分が テンプレート:Math となる非負整数の族 テンプレート:Math）全体の成す集合 テンプレート:Math に成分ごとの和を入れたものとして書くことができる。各 テンプレート:Math に対し、このモノイドの元 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar において テンプレート:Math, それ以外では テンプレート:Math となるような テンプレート:Mvar から テンプレート:Math への写像と定めれば、テンプレート:Math はこの可換モノイドの「基底」となる。それはつまり テンプレート:Math の各元が テンプレート:Mvar の形の元の有限和（各 テンプレート:Mvar は何度も重複して用いてよい）として一意に書けるという意味である。具体的に テンプレート:Math は テンプレート:Math でない非負整数 テンプレート:Mvar 全て（それは有限個しかない）に対する テンプレート:Mvar の和である。

モニック単項式全体の成すモノイド テンプレート:Mvar も同じく テンプレート:Mvar 上の自由可換モノイドであるが、記法は乗法的であり、標準基底は テンプレート:Math と書かれる。すなわち、任意のモニック単項式は テンプレート:Mvar の冪の有限積として一意に表される。

対応するモノイド環

多項式環 テンプレート:Math は、モノイド テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-係数モノイド環 テンプレート:Math として定義される。すなわち、各多項式 テンプレート:Mvar はモニック単項式の テンプレート:Mvar-係数形式線型結合である。これはまた テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への有限台付き写像とも解釈でき、それは有限個の例外を除く全ての成分が テンプレート:Math となる各族 テンプレート:Math に対し、テンプレート:Mvar における単項式 テンプレート:Math の係数を対応させる写像として表される。

したがって多項式環 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-自由加群であり、モノイド テンプレート:Mvar における乗法を線型に拡張した テンプレート:Mvar-多元環の乗法を一意に備える。

記法

テンプレート:Math の多項式 テンプレート:Mvar の記法にはいくつかあるテンプレート:Efn:

性質

普遍性

簡単のため、テンプレート:Mvar 変数多項式環 テンプレート:Math を考える。すると、任意の可換 A-多元環 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の元の [[順序組|テンプレート:Mvar-組]] テンプレート:Math に対し、評価準同型と呼ばれる テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への一意的な テンプレート:Mvar-多元環準同型が存在して、各 テンプレート:Mvar は同じ添字の テンプレート:Mvar に写る。この性質と準同型定理を併せれば、テンプレート:Ill2 テンプレート:Mvar-可換多元環が適当な テンプレート:Mvar に対する多項式環 テンプレート:Math の剰余環に同型となることが示される。したがって、そのような多元環からほかの可換 テンプレート:Mvar-多元環への準同型の構成にそれは本質的である。

より一般に、多項式環は以下の普遍性によって特徴付けられる:

多項式環の普遍性
任意の可換 テンプレート:Mvar-多元環 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の元の族 テンプレート:Math が与えられたとき、一意的な テンプレート:Mvar-多元環準同型 テンプレート:Math が存在して、φ(Xs)=bs(∀s∈S) が成り立つ。
例

次数

テンプレート:Main 一変数多項式に関するいくつかの定義は一般化される:

他方、例えば「モニック多項式」や「最高次単項式」のような概念はもはや意味を為さない。

整域上の多項式環では、一変数の場合と同様に、二つの非零多項式の積の次数は各多項式の次数の和に等しい。

テンプレート:Mvar が可換体のとき、多項式環 テンプレート:Math はユークリッド環であった。これは多変数の場合には拡張されない。例えば、二変数多項式環 テンプレート:Mathは、テンプレート:Mvar の生成するイデアル テンプレート:Math が主イデアルでないから、主環でない（したがってユークリッド環にはならない）。

したがってより弱い性質を見る必要がある。一変数の場合において、次数の概念はヒルベルトの基定理「テンプレート:Mvar がネーター環ならば多項式環 テンプレート:Math もそうである」を確立することを可能にする。 テンプレート:Math の帰納的定義から、直ちに以下を得る:

定理 (ヒルベルトの基定理)
テンプレート:Mvar がネーター環ならば、有限個の変数に関する テンプレート:Mvar-係数多項式環もそうである。

この結果は無限変数の場合には拡張できない。例えば テンプレート:Math のイデアル列 テンプレート:Math (テンプレート:Math) は真に増大するから、この環はネーターでない。

代数的整数論の基本的な結果に従えば、代数体の任意の整数環は[[有限生成加群|有限型 テンプレート:Math-加群]]、テンプレート:Ill2、有限型可換 テンプレート:Math-多元環であり、したがってそれは多項式環の普遍性により テンプレート:Math の剰余環で、ネーターとなる。その帰結として

命題
代数体の（代数的）整数からなる任意の環はネーターである。

函手性

環 テンプレート:Mvar が一意分解環ならば テンプレート:Math もそうである。帰納的に有限または無限変数の多項式環もまた、一意分解環となる（一意分解環の項も参照）:

命題
テンプレート:Mvar-係数の多変数多項式環が一意分解環となるための必要十分条件は テンプレート:Mvar がそうであることである。

このように一意分解性が遺伝することはネーター性の場合と異なっている。不定元の数が有限個であることは必要でない。他方、この函手性は剰余環構成では保たれないから、数体には（二次体でさえ）その整数環が一意分解環とならないものが存在する。

代数的集合

テンプレート:Main テンプレート:Mvar を代数閉体とする。テンプレート:Mvar-係数多項式 テンプレート:Math のテンプレート:Ill2は テンプレート:Math を満たす テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Math 全体の成す集合を言う。テンプレート:Mvar における代数的集合とは テンプレート:Math に属する多項式からなる族の零点集合の交わりを言う。多項式環 テンプレート:Math はネーターであるから、常に多項式の有限族に対して考えれば十分である。代数的集合は代数幾何学において基本的である。

重要な多項式のクラス

斉次多項式

テンプレート:Main 次数 テンプレート:Mvar（零または正の整数）の斉次多項式は次数 テンプレート:Mvar の単項式の線型結合である。零多項式は任意の次数 テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar-次の斉次多項式と考える。例えば二変数多項式 テンプレート:Math は次数 テンプレート:Math の斉次多項式だが、テンプレート:Math は斉次でない。全次数 テンプレート:Mvar の任意の多項式 テンプレート:Mvar は次数がそれぞれ テンプレート:Math の斉次多項式 テンプレート:Math の一意的な和に書ける。このとき各 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の次数 テンプレート:Mvar の斉次成分と言う。先ほどの非斉次の例では、次数 テンプレート:Math の斉次成分は テンプレート:Math, 次数 テンプレート:Math の斉次成分は テンプレート:Math でそのほかの斉次成分は テンプレート:Math である。斉次成分への分解を別の述べ方をすれば、テンプレート:Math は テンプレート:Math の加群の直和に書ける。ただし テンプレート:Mvar は非負整数を亙り、また テンプレート:Math は次数 テンプレート:Mvar の斉次多項式全体の成す テンプレート:Mvar-部分加群とする。それぞれ次数 テンプレート:Mvar の二つの斉次多項式の積が次数 テンプレート:Math の斉次多項式であり、対して和がふたたび斉次となるのは テンプレート:Math のときに限ることに注意する。

テンプレート:Ill2
テンプレート:Mvar は次数 テンプレート:Mvar の斉次多項式ならば dP=∑1≤i≤nXi∂P∂Xi が成り立つ。

対称多項式

テンプレート:Main テンプレート:Mvar 変数の対称多項式とは、それが任意の二つの不定元の置換のもとで不変であるときに言う。例えば三変数で テンプレート:Math は対称であり、他方 テンプレート:Math はそうでない。対称性により任意の対称多項式は斉次だが、任意の斉次多項式の場合と異なり、多項式の和と積のもとでこの対称性は保たれるから、対称多項式の全体は多項式環の部分環となる。

基本対称多項式
テンプレート:Math とするとき、テンプレート:Mvar-次の基本対称多項式 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar-次単項式 テンプレート:Math を テンプレート:Math なる範囲に亙って取った和を言う。例えば、最初は各不定元を一つずつとった和 テンプレート:Math であり、また、すべての不定元を一つずつ掛けた テンプレート:Math が最後の基本対称多項式である。
テンプレート:Ill2
任意の対称多項式は、基本対称多項式の多項式に一意的に書くことができる。
テンプレート:Ill2
テンプレート:Math を整数として、テンプレート:Math は対称多項式であり、テンプレート:Mvar-次のニュートン多項式と呼ばれる。テンプレート:Mvar を基本対称多項式の函数として表す式は（上の定理が示唆するように）ニュートンの公式から間接的に導出できる: {Pd−S1Pd−1+S2Pd−2+⋯+(−1)n−1Sn−1Pd−n+1+(−1)nSnPd−n=0(d≥n)Pd−S1Pd−1+S2Pd−2+⋯+(−1)d−1Sd−1P1+(−1)ddSd=0(d<n). 標数 テンプレート:Math の体上で、これら関係式は基本対称式をニュートン多項式の多項式として書くことを可能にする。特に、有理数体上でニュートン多項式の全体は対称多項式全体の成す環を生成する。
根と係数の関係
テンプレート:Math を次数 テンプレート:Math で体に係数を持つ多項式とする。テンプレート:Math を テンプレート:Math の分解体における テンプレート:Math の根（重複があってもよい）とすれば、テンプレート:Math が成り立つ。

注

注釈

テンプレート:Notelist

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

関連項目

テンプレート:Portal

外部リンク

テンプレート:Polynomials

  1. ↑ テンプレート:Douady1, テンプレート:P..
  2. ↑ Algèbre commutative par Antoine Chambert-Loir, cours à l'université de Rennes 1 (2006–2007).
  3. ↑ Anneaux de polynômes en plusieurs variables par Patrick Polo, de l'université Pierre-et-Marie-Curie.
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