漸近展開

テンプレート:参照方法 漸近展開（ぜんきんてんかい、テンプレート:Lang-en-short）とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析や特殊関数に対する数値解析など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある。

漸近級数

関数 $f(x)$ を定義域が実数の領域で定義された関数とし、$x_0$ を $f(x)$ の定義域内の点とする。

関数列 $\{{\phi }_n(x){\}}_{n\ge 0}$ が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。

• ${\phi }_{n+1}(x)=o({\phi }_n(x))(x\to x_0)(n=0,1,2,\dots )$

実数列 $\{a_n{\}}_{n\ge 0}$ が存在して、任意の正整数 n に対し テンプレート:Indent が成立するとき、 テンプレート:Indent を $f(x)$ の漸近級数といい、 テンプレート:Indent と表す。

さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という。

• 任意の正整数 n、$f(x)$ の定義域内の x に対して

$|f(x)-\sum _{k=0}^n{a}_k{\phi }_k(x)|<|a_{n+1}{\phi }_{n+1}(x)|$

が成立する。

漸近関数列が $\{(x-x_0{)}^n{\}}_{n\ge 0}$ $(|x_0|<\mathrm{\infty })$ または $\{x^{-n}{\}}_{n\ge 0}$ $(|x_0|=\mathrm{\infty })$ の形の漸近級数を、漸近冪級数という。

与えられた漸近関数列を用いて、$f(x)$ の漸近級数を得ることを漸近展開といい、 $f(x)$ の漸近級数 ${\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{\phi }_k(x)$ が存在する場合、 $f(x)$ は漸近展開 テンプレート:Indent を持つという。

性質

一意性

任意の関数 $f(x)$ に対して、$f(x)$ に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば

• $1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{-k}(x\to \mathrm{\infty })$
• $1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(x^2+x+1)x^{-3k}(x\to \mathrm{\infty })$

しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯１つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。

さらに、漸近級数の各係数は テンプレート:Indent で与えられる。

和と積

点 $x_0$ の近傍で定義された関数 $f(x),g(x)$ は、漸近関数列 $\{{\phi }_n(x){\}}_{n\ge 0}$ に対する漸近展開 テンプレート:Indent を持つとする。このとき、任意の α、β に対して テンプレート:Indent が成立する。

さらに、漸近関数列が $\{\phi (x{)}^n{\}}_{n\ge 0}$ $(\phi (x)\to \mathrm{\infty }(x\to x_0))$ である場合、 テンプレート:Indent が成立する。

項別微分

一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。 項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。

漸近関数列 $\{{\phi }_n(x){\}}_{n\ge 0}$ は各 n に対して、$x_0$ の近傍で微分可能であり、関数列 $\{\phi {\text{'}}_n(x){\}}_{n\ge 0}$ が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。

$f(x)$ は、$x_0$ の近傍で微分可能であり、 テンプレート:Indent となる漸近展開を持ち、$f^{\prime }(x)$ が漸近関数列 $\{\phi {\text{'}}_n(x){\}}_{n\ge 0}$ を用いて漸近展開することができるのであれば テンプレート:Indent が成立する。

項別積分

$|x_0|<\mathrm{\infty }$ とし、$f(x)$ の漸近展開を テンプレート:Indent とする。定積分 テンプレート:Indent が各 n に対して存在するならば、 テンプレート:Indent が存在して、 テンプレート:Indent が成立する。

$x_0=\mathrm{\infty }$ のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。 例えば、漸近級数が漸近冪級数 テンプレート:Indent を持つ場合、 テンプレート:Indent とする必要がある。

例

スターリングの公式の一般化

ガンマ関数は テンプレート:Indent という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている。

合流型超幾何関数

合流型超幾何関数 (en:confluent hypergeometric function):

${}_1{F}_1(\alpha ;\gamma ;z):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_n}{(\gamma {)}_{n}n!}{z}^n,z\in ℂ$

は次の漸近展開を持つ。

${}_1{F}_1(\alpha ;\gamma ;z)\sim \frac{\mathrm{\Gamma }(\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(\gamma -\alpha )}(\exp (-\mathrm{i}\pi )z{)}^{-\alpha }[1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{(\alpha {)}_k(\alpha -\gamma +1{)}_k}{k!}\frac{1}{z^k}]+\frac{\mathrm{\Gamma }(\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\exp (z)z^{\alpha -\gamma }[1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\gamma -\alpha {)}_k(1-\alpha {)}_k}{k!}\frac{1}{z^k}],-\frac{\pi }{2}<\arg (z)<\frac{3\pi }{2},|z|\to \mathrm{\infty }.$

$\arg$は複素数の偏角であり、$(\alpha {)}_k$はポッホハマー記号である。

誤差関数

誤差関数 テンプレート:Indent は、以下の様な漸近展開を持つ。 テンプレート:Indent

指数積分

指数積分 テンプレート:Indent の漸近展開は、 テンプレート:Indent で与えられる。

ラプラス変換

$f(x)$ を何回でも微分可能な関数としたとき、$f(x)$ のラプラス変換 テンプレート:Indent の漸近展開は、 テンプレート:Indent で与えられる。

微分方程式の解

微分方程式 テンプレート:Indent の解は テンプレート:Indent で与えられ、 テンプレート:Indent という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の $x\ne 0$ で収束しないが、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。

求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。

調和級数

調和級数は テンプレート:Indent

という漸近展開を持つ。ここで、$\gamma$はオイラー・マスケローニ定数、$B_k$はベルヌーイ数である。

学習用図書

和書

• テンプレート:Cite book
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• 柴田正和：「常微分方程式の局所漸近解析：特異点・臨界点が解の大域的性質を明らかにする」、森北出版、ISBN 978-4-627-07651-8 (2010年8月10日).
• 江沢洋：「漸近解析入門」、岩波書店、ISBN 978-4-00-006279-4
• 伏見康治：「確率論及統計論」(第I章:数学的補助手段,3節：漸近展開）(1948年）；現代工学社から1977年に復刻版「確率論および統計論」、ISBN 978-4-87472012-7。https://web.archive.org/web/20160327114852/http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/2049-4 (2013年8月29日).

洋書

• Erdélyi, A.: Asymptotic expansions, Dover Publications, ISBN 0-486-60318-0 (1956年).
• Bruijn N.G.: Asymptotic Methods in Analysis, Dover Publications, ISBN 0-486-64221-6 (1958年).
• Dingle, R. B. (1973). Asymptotic expansions: their derivation and interpretation. London: en:Academic Press.
• Bleistein, Norman and Handelsman Richard A.: Asymptotic Expansions of Integrals, Dover Publications, ISBN 0-486-65082-0 (1975年).
• Olver, F. (1997). Asymptotics and special functions. AK Peters/CRC Press.
• Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press.
• Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005). Functions of a complex variable: Theory and technique. en:Society for Industrial and Applied Mathematics.
• Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013). Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory. en:Springer Science & Business Media.
• Paris, R.B.: Hadamard Expansions and Hyperasymptotic Evaluation: An Extension of the Method of Steepest Descents, Cambridge University Press(Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 141), ISBN 978-1-107-00258-6 (2011年).

関連項目

• 級数
• テイラー展開
• 微分方程式
• メリン変換

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