ポッホハマー記号

解析学におけるポッホハマー記号（ポッホハマーきごう、テンプレート:Lang-en-short）はテンプレート:仮リンクの名に因む特殊函数テンプレート:Refnestで、組合せ論および超幾何級数論にも応用を持つ。

記法について

同じ函数を表す記号だが、表記にはいくつかバリエーションがある。

• $x^{(n)}$: 組合せ論で使用
• $(x,n),(x{)}_n$: 解析学、特殊函数論で使用
• $x^{\bar{n}},x^{\underset{\_}{n}}$: (その他の記法)

複素数 テンプレート:Mvar と正整数 テンプレート:Mvar に対して、特殊函数論では テンプレート:Math を昇冪

$(x{)}_n=\prod _{j=0}^{n-1}(x+j)=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)$

を表すのに用いるが、組合せ論では テンプレート:Math を降冪

$(x{)}_n=\prod _{j=0}^{n-1}(x-j)=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)$

として用いる。混乱を避けるため、昇冪を テンプレート:Math, 降冪を テンプレート:Math でそれぞれ表すこともよく行われる。さらに テンプレート:Harvtxt は全く別の冪乗に似た記号を用いる。

$\begin{array}{cc}{x}^{\bar{n}}& =x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1),\\ x^{\underset{\_}{n}}& =x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).\end{array}$

差分学における降冪は微分学における冪の類似対応物である。 ガンマ関数Γを用いると

$\begin{array}{cc}{x}^{\bar{n}}& =\frac{\mathrm{\Gamma }(x+n)}{\mathrm{\Gamma }(x)},\\ x^{\underset{\_}{n}}& =\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x-n+1)}\end{array}$

となる（ただしガンマ関数の引数が非正整数でない場合）。さらに x が正整数のときは階乗を用いて

$\begin{array}{cc}{x}^{\bar{n}}& =\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!},\\ x^{\underset{\_}{n}}& =\frac{x!}{(x-n)!}(x\ge n)\end{array}$

性質

各 テンプレート:Mvar に対するポッホハマー記号 テンプレート:Math のグラフ

• ポッホハマー記号 テンプレート:Math は複素変数 テンプレート:Mvar に関して有理型函数である。
• 任意の自然数 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の多項式であり、テンプレート:Math を共通根に持つ。
• 変数 テンプレート:Mvar の符号を反転するとき

  $(-z,n)=(-1{)}^n(z-n+1,n).$

• 径数 テンプレート:Mvar の符号を反転するとき、以下の関係式が成り立つ:

  $(x,-n)=(-1{)}^n\frac{1}{(1-x,n)}.$

• $(z,n+m)=(z,n)(z+n,m)$
• 商の法則:

  $\frac{(x,n)}{(x,m)}=\{\begin{array}{cc}(x+m,n-m)& (n>m),\\ \frac{1}{(x+m,m-n)}& (m>n).\end{array}$

• 特殊値:

  $(1,n)=n!(n\in \mathbb{N}).$

  $(1/2,n)=2^{-n}(2n-1)!!(n\in \mathbb{N}).$

• 二項係数との間に以下の関係がある:

  $(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n})=\frac{(-z{)}_n}{n!}.$

応用

ポッホハマー記号は函数の冪級数展開を表すのに用いられる。いくつか例を挙げれば、

1. ニュートンの二項級数:

   $(1-z{)}^a=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-a{)}_k}{k!}{z}^k(|z|<1).$

2. 超幾何函数:

   ${}_2{F}_1(\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_k(b{)}_k}{(c{)}_{k}k!}{z}^k.$

一般化

テンプレート:Mvar-類似

テンプレート:Main ポッホハマー記号の[[q類似| テンプレート:Mvar-類似]]に[[qポッホハマー記号| テンプレート:Mvar-ポッホハマー記号]]がある。これは

$(a;q{)}_0:=1,(a;q{)}_n:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-a{q}^k)=(1-a)(1-aq)(1-a{q}^2)\cdots (1-a{q}^{n-1})$

で定義される。

多重ポッホハマー記号

テンプレート:Main 多重指数に対するポッホハマー記号を以下のように定めることができる:

$(a{)}_{\kappa }^{(\alpha )}:=\prod _{i=1}^m\prod _{j=1}^{{\kappa }_i}(a-\frac{i-1}{\alpha }+j-1)(\kappa ={\kappa }_1+{\kappa }_2+\cdots +{\kappa }_m,\alpha >0).$

参考文献

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Citation
  • テンプレート:Cite book
  • テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Citation

外部リンク

• テンプレート:MathWorld