メリン変換

数学におけるメリン変換（メリンへんかん、テンプレート:Lang-en-short）とは、両側ラプラス変換の乗法版と見なされる積分変換である。この変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論や漸近展開の理論においてよく用いられる。ラプラス変換、フーリエ変換、ガンマ関数や特殊関数の理論と関係している。

この変換の名はフィンランドの数学者テンプレート:仮リンクの名にちなむ。

定義

局所可積分な関数 f のメリン変換は

$\left\{ℳf\right\}(s)=\phi (s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}f(x)dx$

により定義される。 任意の小さな正の数 $ϵ$ に対して、 $x\to +0$ のとき $f(x)=O(x^{-a-ϵ})$ 、 $x\to +\mathrm{\infty }$ のとき $f(x)=O(x^{-b+ϵ})$ と評価できるならば、上の積分は絶対収束する。さらに、 $\left\{ℳf\right\}(s)$ は $a<\mathrm{\Re }(s)<b$ で解析的な関数となる。

また、メリン逆変換は

$\left\{{ℳ}^{-1}\phi \right\}(x)=f(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-s}\phi (s)ds$

により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った線積分を意味している。ここで、 c は $a<c<b$ を満たす任意の実数である。 このような逆が存在するための条件は、テンプレート:仮リンクで与えられている。

他の変換との関係

両側ラプラス変換は、メリン変換を用いて

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℳf(-\ln x)\}(s)$

と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s)$

と表される。

メリン変換は、積分核 x^s を用いた、乗法的ハール測度 $\frac{dx}{x}$ についての積分と考えることが出来る。ここで $\frac{dx}{x}$ は拡張 $x\mapsto ax$ について不変であり、したがって $\frac{d(ax)}{ax}=\frac{dx}{x}$ が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度 $dx$ についての積分と考えられる。ここで $dx$ は移動不変であり、したがって $d(x+a)=dx$ が成り立つ。

同様にフーリエ変換もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、

$\left\{ℱf\right\}(s)=\left\{ℬf\right\}(is)=\{ℳf(-\ln x)\}(is)$

が成立する。反対に

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s)=\{ℱf(e^{-x})\}(-is)$

も成立する。メリン変換はまた、テンプレート:仮リンクやテンプレート:仮リンクを、テンプレート:仮リンクの意味におけるポアソン母関数と結び付ける。

例

カヘン-メリン積分

$c>0$、$\mathrm{\Re }(y)>0$ およびテンプレート:仮リンク上の $y^{-s}$ に対して、

$e^{-y}=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Gamma }(s)y^{-s}ds$

が成立する。ここで $\mathrm{\Gamma }(s)$ はガンマ関数である。この積分はカヘン-メリン積分として知られている。

数論

数論における重要な応用例として、単関数 $f(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<1,\\ x^a& x>1\end{array}$ に対し

$ℳf(s)=\frac{1}{s+a}$

が成立する、ということが挙げられる。

ゼータ関数

メリン変換を用いることで、リーマンゼータ関数 $\zeta (s)$ についての公式を得ることができる。$f(x)=\frac{1}{e^x-1}$としたとき$ℳf(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}{e}^{-x}}{1-e^{-x}}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-nx}dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}{e}^{-nx}dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}{e}^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(s)}{n^s}=\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s)$よって

$\zeta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx$

L² 上のユニタリ作用素として

ヒルベルト空間の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。$L^2(0,\mathrm{\infty })$ （Lp空間を参照されたい）の関数に対して、基本帯（fundamental strip）は常に $\frac{1}{2}+iℝ$ を含む。そのため、線形作用素 $\widetilde{ℳ}$ を

$\widetilde{ℳ}:L^2(0,\mathrm{\infty })\to L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }),\{\widetilde{ℳ}f\}(s):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-\frac{1}{2}+is}f(x)dx$

によって定義することが出来る。言い換えると、集合

$\{\widetilde{ℳ}f\}(s):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\{ℳf\}(\frac{1}{2}-is)$

を定義することが出来る。この作用素は通常 $ℳ$ とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために $\widetilde{ℳ}$ を記号として用いる。このときテンプレート:仮リンクにより、$\widetilde{ℳ}$ は可逆であって、その逆は

${\widetilde{ℳ}}^{-1}:L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\to L^2(0,\mathrm{\infty }),\{{\widetilde{ℳ}}^{-1}\phi \}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-\frac{1}{2}-is}\phi (s)ds$

と得られることが分かる。さらにこの作用素は等長であること、すなわち $\Vert \widetilde{ℳ}f{\Vert }_{L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })}=\Vert f{\Vert }_{L^2(0,\mathrm{\infty })}$ がすべての$f\in L^2(0,\mathrm{\infty })$ に対して成立することが分かる（この性質のために係数 $1/\sqrt{2\pi }$ が用いられている）。したがって、$\widetilde{ℳ}$ はユニタリ作用素である。

確率論において

確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる。X を確率変数とし、テンプレート:Nowrap} をその正の部分、テンプレート:Nowrap} をその負の部分としたとき、X のメリン変換は

${ℳ}_X(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s}d{F}_{X^{+}}(x)+\gamma \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s}d{F}_{X^{-}}(x),$

として定義される。ここで γ は、テンプレート:Nowrap を満たすもの（formal indeterminate）である。この変換は、複素帯領域 テンプレート:Nowrap}（ただしテンプレート:Nowrap）内のすべての s に対して存在する。

確率変数 X のメリン変換 ${ℳ}_X(it)$ は、その分布関数 F_X を一意に定める。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: X および Y を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい。すなわち、

${ℳ}_{XY}(s)={ℳ}_X(s){ℳ}_Y(s)$

が成立する。

応用

メリン変換は、そのスケール不変性のため、計算機科学の分野で広く用いられている。あるスケール変換を施された関数のメリン変換の絶対値は、もとの関数の絶対値と等しい。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性とも同様である。時間に関してシフトされた関数のフーリエ変換の絶対値は、もとの関数のそれと等しい。

この性質は、画像認識を行う際に役に立つ。物体の画像は、その物体がカメラに近づいたり離れたりするだけで簡単にスケールが変わってしまうからである。

その他の例

• ディリクレ級数へのメリン逆変換の応用について述べたものに、ペロンの公式がある。
• メリン変換は素数計数関数の解析に用いられる。またリーマンゼータ関数の議論にも現れる。
• メリン逆変換は主にリース平均に現れる。
• メリン変換はオーディオ・タイムスケール-ピッチ調整に使うことが出来る。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• ペロンの公式

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• テンプレート:Mathworld

外部リンク

• Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.
• Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas
• Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas (in Spanish).
• Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
• Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A FAST MELLIN TRANSFORM WITH APPLICATIONS IN DAFX