ペロンの公式

数学、特に解析的整数論におけるペロンの公式（ペロンのこうしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、テンプレート:仮リンクによる、逆メリン変換を用いて数論的関数の和を計算する公式である。

主張

• $\{a(n){\}}_n$ を数論的関数（つまり複素数の列）とし、

$g(s):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s},s\in ℂ$

を対応するディリクレ級数とする。実数 $c>0$ があって、この級数は半平面 $\{s|\mathrm{R}\mathrm{e}(s)>c\}$ で一様収束するものとする。

• 実数 $x>0$ に対し

$A(x):=\sum _{1^{\prime }\le n\le x}a(n)$

と定義する。ここでプライムのついた和記号は、$x$ が自然数のときは最後の項に限り 1/2 を掛けて和をとることを意味する。

このときペロンの公式は、

$A(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{c-iT}{\overset{c+iT}{\int }}g(s)\frac{x^s}{s}ds$

右辺の複素積分は $\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}g(s)\frac{x^s}{s}ds$ と書かれることも多い。この表示のときはコーシーの主値をとっているものと解釈する。

証明のスケッチ

アーベルの総和公式：

$\sum _{1\le n\le M}{a}_n\varphi (n)=A(M)\varphi (M)-\underset{1}{\overset{M}{\int }}A(x){\varphi }^{\prime }(x)dx$

において $\varphi (x)=x^{-s}$ とおき、

$\sum _{1\le n\le M}{a}_n{n}^{-s}=A(M)M^{-s}+s\underset{1}{\overset{M}{\int }}A(x)x^{-s-1}dx$

$M\to \mathrm{\infty }$ とすると $\mathrm{R}\mathrm{e}(s)>0$ だから右辺第1項は消えて

$g(s):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s}=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(x)x^{-(s+1)}dx$

変数変換 $x=e^t$ をして変形すると、

$\frac{g(s)}{s}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(e^t)e^{-st}dt$

この右辺はラプラス変換そのものである。よって逆ラプラス変換テンプレート:Efnにより

$A(e^t)=\frac{1}{2\pi i}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{c-iT}{\overset{c+iT}{\int }}\frac{g(z)}{z}{e}^{tz}dz$

$A(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{c-iT}{\overset{c+iT}{\int }}\frac{g(z)}{z}{x}^{z}dz$

例

ディリクレ級数との関連から、ペロンの公式（もしくは証明のスケッチに現れた等式）は数論的な和に関してよく用いられる。

• リーマンゼータ関数は半平面 $\{s\in ℂ|\mathrm{R}\mathrm{e}(s)>1\}$ で

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

とディリクレ級数表示され、このとき $a(n)\equiv 1$ より $A(x)=\lfloor x\rfloor$（床関数）となり

$\zeta (s)=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}dx$

• 一般にディリクレのL-関数に対しては、

$L(s,\chi )=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{A(x)}{x^{s+1}}dx$

ここで $A(x)=\sum _{1\le n\le x}\chi (n)$ テンプレート:Efnはディリクレ指標 $\chi (n)$ の和。

• 他にも、テンプレート:仮リンク（1から n までのメビウス関数の和）の値をリーマンゼータ関数の複素積分で表したり、チェビシェフ関数（フォン・マンゴルト関数の和）を含む積分値をリーマンゼータ関数を使った比で表示するといった応用がある。

一般化

ペロンの公式はメリンの離散的畳み込みの特別な場合である。

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a(n)f(n/x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}F(s)G(s)x^{s}ds$

ここで $G(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s}$ とし、 $F(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)x^{s-1}dx$ はメリン変換である。

試験関数を $f(1/x)=\theta (x-1)$ （ $\theta (x)$ はヘヴィサイドの階段関数）と選ぶとペロンの公式が得られる。

参考文献

• Page 243 of テンプレート:Apostol IANT
• テンプレート:Mathworld
• テンプレート:Cite book