P進数

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テンプレート:Mvar 進数（ピーしんすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、1897年に始まるクルト・ヘンゼルの一連の研究の中で導入された[1]、数の体系の一つである。文脈によっては、その体系の個々の数を指して テンプレート:Mvar 進数と呼ぶこともある。有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方法で、各素数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar 進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある（例えば[[p-進量子力学| テンプレート:Mvar 進量子力学]]を参照）。

「テンプレート:Mvar 進数」とは「2進数」や「3進数」の総称に過ぎないので、文字 テンプレート:Mvar がすでに他の場所で用いられている場合、テンプレート:Mvar 進数や テンプレート:Mvar 進数などと表現されることもある。

なお、位取り記数法である「テンプレート:Mvar 進法(表記)」を指して「テンプレート:Mvar 進数」と呼ばれることがあるが、これは「テンプレート:Mvar 進数」とは別のものである。

概要

有理数体 テンプレート:Math から実数体 テンプレート:Math を構成するには、通常の絶対値の定める距離 テンプレート:Math に関して有理数体を完備化する必要がある。それに対し、[[p進付値|テンプレート:Mvar 進付値]]より定まる距離（テンプレート:Mvar 進距離）テンプレート:Math によって有理数体を完備化したものが テンプレート:Mvar 進数体 テンプレート:Math である。テンプレート:Mvar 進数と実数は異なる特徴を持つ別々の数体系である一方で、数論においては極めて深い関係を持つ対象であると捉えられる。有理数から実数を構成する過程は、小数展開に循環しない可算無限桁を許すことを意味する。テンプレート:Mvar 進数体 テンプレート:Math における小数展開の類似物は テンプレート:Mvar 進展開である。テンプレート:Mvar 進数の中で考えた有理数は テンプレート:Mvar の高い冪を因数に含めば含むほど小さいと考えられ、テンプレート:Mvar 進数の テンプレート:Mvar 進展開は、テンプレート:Mvar 進整数（ぴーしんせいすう、テンプレート:Lang）を可算無限桁の整数と捉える見方を与える。これにより、実数の場合と並行して、テンプレート:Mvar 進数は有理数の算術まで込めた拡張であることを見ることができる。

実数体 テンプレート:Math と テンプレート:Mvar 進数体 テンプレート:Math をひとまとまりにしたアデールの概念が扱われることもある。有理数体のアデール テンプレート:Math は簡単に言えば、実数体 テンプレート:Math と全ての素数 テンプレート:Mvar にわたる テンプレート:Mvar 進数体 テンプレート:Math との位相まで込めた直積である。有理数体 テンプレート:Math はそのアデール テンプレート:Math のなかに（対角線に）埋め込むことができる。有理数体をアデールに埋め込んで考えることは、有理数体を素数（と無限遠）を点とする空間 Spec テンプレート:Math 上の代数関数体として捉えるという視点を与える。ここでは、テンプレート:Math は有限素点 テンプレート:Mvar における局所的な振る舞いを、テンプレート:Math は無限遠での振る舞いを表すものとして並行に扱われる。このような解析的な取り扱いにおいては、テンプレート:Mvar 進展開はテイラー展開の類似物であると考えられる。

実数体と テンプレート:Mvar 進数体は有理数体の完備化であるが、一般の代数体でも同様の完備化が考えられる。

略式の解説

本節における テンプレート:Mvar 進数の導入方法や記法は、数学的に正式なものではない。ただし、本節の解釈は、現実には有限の桁しか扱えない計算機の理論においては有用である。後述の [[#p-進展開|テンプレート:Mvar 進展開]]も参照。

以下の数の表記は テンプレート:Mvar 進表記によるものとする。テンプレート:Math のような有限小数に、小数側に無限桁の数を加えて得られる テンプレート:Math のようなものは実数のひとつである。逆に、整数側に無限桁加えたもの、例えば テンプレート:Math のようなものが テンプレート:Mvar 進数であると解釈できる。実数の場合とは逆に、小数側が有限桁でなければならない。テンプレート:Mvar 進数の中でも、小数点以下がない テンプレート:Math のようなものは テンプレート:Mvar 進整数と呼ばれるものに対応する。

テンプレート:Mvar 進数同士の足し算、引き算、掛け算は、テンプレート:Mvar 進表記の有理数における通常のアルゴリズムを自然に無限桁に拡張することで得られ、割り算は掛け算の逆演算として定義される。実数の場合とは異なり、テンプレート:Mvar 進数においては、別途負の数を導入せずとも加法の逆元が存在する。たとえば2進数で テンプレート:Math と テンプレート:Math を足すと テンプレート:Math になるため、テンプレート:Math の加法逆元 テンプレート:Math は テンプレート:Math に等しい。また、テンプレート:Mvar 進数においては有限桁の小数範囲で必ず逆数が存在する。たとえば、実数の世界においては、2進表記で テンプレート:Math の逆数は テンプレート:Math であるのに対し、2進数の世界においては テンプレート:Math の逆数は テンプレート:Math である。

テンプレート:Mvar は素数である必要があり、さもなくば2つの テンプレート:Math でない テンプレート:Mvar 進数の積が テンプレート:Math になってしまうことや、逆数が存在しないことがある。テンプレート:Mvar が素数であればそのようなことはなく、実数の加減乗除とよく似た性質を満たすテンプレート:Efn。テンプレート:Mvar 進整数は テンプレート:Mvar 進表記の整数を無限桁に拡張したものであるから、テンプレート:Mvar 進整数の テンプレート:Math 桁目以降を「切り捨てる」事で有限桁の整数が得られる。先に テンプレート:Math 桁目以降を切り捨ててから足し算、引き算、掛け算を行っても、先に足し算、引き算、掛け算を行ってから テンプレート:Math 桁目以降を切り捨てても同じ結果になるテンプレート:Efn。

実数に距離の概念があるように、テンプレート:Mvar 進数にも距離の概念（テンプレート:Mvar 進距離）がある。例えば2つの実数 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar の差が テンプレート:Math であるとき、連続する テンプレート:Math の部分が長いほど数直線上の テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は近い。テンプレート:Mvar 進数の場合、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の差が テンプレート:Math であるとき、連続する 0 の部分が長いほど テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は近いとみなされる。

定義

有理数体 テンプレート:Math の [[p進付値|テンプレート:Mvar 進付値]]が定める距離（テンプレート:Mvar 進距離）テンプレート:Math による完備化を テンプレート:Math と表し、その元を テンプレート:Mvar 進数と呼ぶ。テンプレート:Math は テンプレート:Math における四則演算と距離空間の位相とを自然に拡張した演算と、テンプレート:Mvar 進距離により定まる位相構造とを持つ。この四則演算に関して テンプレート:Math は体をなし、演算はこの距離位相に関して連続である。この両立する演算と位相を持つ位相体 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 進数体という。

テンプレート:Mvar 進数 テンプレート:Mvar は、その付値 テンプレート:Math が テンプレート:Math 以上であるとき、テンプレート:Mvar 進整数と呼ばれる。テンプレート:Mvar 進整数の全体の成す集合

{x∈𝐐p∣vp(x)≧0}

を テンプレート:Math で表す。テンプレート:Math は環を成し、テンプレート:Mvar 進整数環と呼ばれる。

p 進展開

テンプレート:Math とする。テンプレート:Math の任意の元 テンプレート:Mvar に対し、整数 テンプレート:Mvar と テンプレート:Math における数列 テンプレート:Math が存在して、

x=∑n=N∞anpn

と一意的に展開される（テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 進付値 テンプレート:Math に一致する）。これを テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 進展開という。逆に、テンプレート:Math における数列 テンプレート:Math が与えられたとき、和 ∑n=N∞anpn は テンプレート:Mvar 進距離に関して収束して、テンプレート:Mvar 進数を一意的に定める。この展開は、整数環 テンプレート:Math の テンプレート:Math を法とする剰余環 テンプレート:Math を テンプレート:Math の各値で考えたものたち（とそれらの間の自然な射影たち）の成す射影系 テンプレート:Math の射影極限として テンプレート:Math が得られることを示している。逆に、射影極限として テンプレート:Math を定義し、その商体として テンプレート:Math を定義する流儀もある。テンプレート:Math の全ての元の共通部分は テンプレート:Math なので、この展開は完備化の操作を具体的に記述したものと見ることができる。

p 進数体の性質

テンプレート:Mvar 進数が テンプレート:Mvar 進展開と一対一に対応することから、テンプレート:Mvar 進数体は連続体濃度を持つ。テンプレート:Math を部分体として含むので、標数は テンプレート:Math である。どのように順序を入れても順序体にはできない。実数体 テンプレート:Math の代数閉包（複素数体 テンプレート:Math）が二次拡大で完備であるのに対し、テンプレート:Mvar 進数体 テンプレート:Math の代数閉包 テンプレート:Math は無限次拡大でしかも完備ではない。その完備化は代数閉体であって、テンプレート:Math と表される。これは複素数体 テンプレート:Math と体として同型であるが、同型写像の存在は選択公理に依存しており、具体的に同型写像を与えることはできない。

テンプレート:Math の単数群（可逆元全体の成す乗法群）は テンプレート:Math となる。テンプレート:Math は局所環であり、その唯一の極大イデアルは

𝔭={x∈𝐙p∣vp(x)>0}

と表される。これは テンプレート:Mvar で生成される単項イデアル テンプレート:Math である。テンプレート:Math の テンプレート:Math による剰余体 テンプレート:Math （これを通常は テンプレート:Mvar 進数体の剰余体などと呼ぶ）は [[有限体|テンプレート:Mvar 元体]] テンプレート:Math に同型であり、上で用いた展開の係数の集合 テンプレート:Math は、しばしばこれと同一視される。

テンプレート:Math の任意の元 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Math (テンプレート:Math) となる テンプレート:Math が一意的に存在する。したがって、テンプレート:Math は単項イデアル整域であり、その任意のイデアルは テンプレート:Math の形である。

テンプレート:Mvar 進数体は離散付値である テンプレート:Mvar 進付値に関して完備で、剰余体が有限であるので局所体のひとつである。テンプレート:Mvar 進距離の定める位相に関して テンプレート:Math は テンプレート:Math の開かつ極大コンパクトな部分環である。同様に、テンプレート:Math の任意のイデアルは開かつコンパクトとなる。さらに、これらのイデアルたちは テンプレート:Math の基本近傍系を成す。特に、テンプレート:Math は完全不連結局所コンパクトな位相体になる。

テンプレート:Mvar 進数体が [[円分体|テンプレート:Mvar 分体]]を含むための必要十分条件は テンプレート:Mvar が テンプレート:Math を割ることである。とくに、テンプレート:Mvar が奇素数のときは、テンプレート:Mvar 進数体は テンプレート:Math の原始 テンプレート:Mvar 乗根を含まない。

視覚化

テンプレート:Mvar 進数は純数学的な数の体系であり、現実世界に対応するものを持たないことから、テンプレート:Mvar 進数の集合を正確に図示することはできない。しかし、ともかくも テンプレート:Mvar 進数全体は集合であることから、部分集合の包含関係をオイラー図で表すことはできる。また、距離や測度も定義されることから、オイラー図を描くときに距離や測度の特徴を捉えて描くことも部分的には可能である。以下にこうした図の例を限界とともに述べる。

テンプレート:Mvar 進数の部分集合について状況に応じた適切なイメージを頭の中に思い描くことは [[p進解析|テンプレート:Mvar 進解析]]や テンプレート:Mvar 進幾何の理解を容易にしてくれる。

フィルトレーション

分数イデアルによる テンプレート:Math のフィルトレーション

整数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar 進数体の分数イデアル テンプレート:Math を考える。これは次のフィルトレーション

⋯⊂p2𝐙p⊂p𝐙p⊂𝐙p⊂p−1𝐙p⊂⋯

を定める。全ての和集合を取ると テンプレート:Math となり、全ての共通部分を取ると テンプレート:Math になる。これをオイラー図で表したものが右図である。

細分

テンプレート:Mvar 進整数環 テンプレート:Math を剰余類で分割した様子

剰余類環 テンプレート:Math は有限体であり、各剰余類の代表元としては テンプレート:Math が取れる。したがって テンプレート:Math は テンプレート:Math の非交和

𝐙p=⨆n=0p−1(n+p𝐙p)

でかける。右図はこれを図で表したものである。

局所大域原理

テンプレート:Mvar 進数が数論において重要な役割を果たす文脈の一つとして、ハッセ の局所大域原理がある。 テンプレート:Main

歴史

関連文献

歴史関連

原論文

関連項目

脚注

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注釈

テンプレート:Notelist

出典

テンプレート:Reflist

外部リンク

テンプレート:Number systems テンプレート:Normdaten

  1. ↑ テンプレート:Cite book
  2. ↑ テンプレート:Cite bookここでは同様の議論で テンプレート:Math を導いている。
  3. ↑ 例えば p進数 など。
  4. ↑ 4.0 4.1 テンプレート:Harvnb. この文献ではヘンゼルの1897年の論文の日付は1899年となっている。
  5. ↑ テンプレート:Cite book
  6. ↑ テンプレート:MacTutor Biography
  7. ↑ テンプレート:MathGenealogy
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