くし型関数のソースを表示

{{出典の明記|date=2013年4月4日 (木) 04:27 (UTC)}}
[[ファイル:Dirac comb.svg|thumb|300px|周期 {{mvar|T}} のくし型関数。]]
'''くし型関数'''（くしがたかんすう、{{lang-en-short|comb function}}）は、[[ディラックのデルタ関数|デルタ関数]]を一定の間隔で並べた[[超関数]]。

<math display="block">
\operatorname{comb}_T(x)
= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(x-nT)
.
</math>

ここで {{mvar|T}} は周期、{{mvar|&delta;}} はデルタ関数である。

様々な呼称があり、[[キリル文字]]の “[[Ш]]" の形に似ているため'''シャー関数''' ({{en|shah function}})、あるいは関数の性質から'''周期的デルタ関数'''とも呼ばれる。

くし型関数を通常の関数と見た場合、デルタ関数と同様、以下のように振る舞う。

<math display="block">
\operatorname{comb}_T(x)
=\begin{cases}
\infty & (x = nT) \\
0      & (x \ne nT)
\end{cases}
.
</math>

[[連続関数]]との積を取ることにより、一定間隔で[[離散化]]（[[標本化|サンプリング]]）した数値列を得ることができるわけではない（[[クロネッカーのデルタ]]関数と混同しないこと）。
連続関数と積を取った後、[[積分]]を行うことで、積分を一定間隔値の[[無限和]]に変換する性質を持つ。サンプラーのモデルとしても扱われる。

== 特徴 ==

くし型関数の[[フーリエ変換]]はくし型関数になる<ref name="Williams">{{cite book|和書 
 |first=Earl G.
 |last=Williams
 |translator=吉川茂、西條献児
 |title=フーリエ音響学
 |publisher=シュプリンガーフェアラーク東京 
 |year=2005
 |page=9
 |isbn=4-431-71174-0
 |ref=harv
}}</ref>。

<math display="block">
\mathcal{F}(\delta_T)
=\frac{\sqrt{2\pi}}{T}\operatorname{comb}_{\frac{2\pi}{T}}(\omega)
</math>

ただしフーリエ変換すると周期が {{Mvar|T}} から {{Math|{{Sfrac|2π|''T''}}}} になる。
なお当然のことながら、積分を使わない[[離散フーリエ変換]]をくし型関数に定義することはできない。

以下の[[ポアソン和公式]]が成り立つ<ref name="Williams" />：

<math display="block">
\frac{1}{T}\operatorname{comb}\left(\frac{x}{T}\right) 
= \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-nT)
= \frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^\infty \exp\left(\frac{2\pi imx}{T}\right)
</math>

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:くしかたかんすう}}
[[Category:信号処理]]
[[Category:超関数]]
[[Category:数学に関する記事]]