くし型関数

周期 テンプレート:Mvar のくし型関数。

くし型関数（くしがたかんすう、テンプレート:Lang-en-short）は、デルタ関数を一定の間隔で並べた超関数。

$${\mathrm{comb}}_T(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-nT).$$

ここで テンプレート:Mvar は周期、テンプレート:Mvar はデルタ関数である。

様々な呼称があり、キリル文字の “Ш" の形に似ているためシャー関数 (テンプレート:En)、あるいは関数の性質から周期的デルタ関数とも呼ばれる。

くし型関数を通常の関数と見た場合、デルタ関数と同様、以下のように振る舞う。

$${\mathrm{comb}}_T(x)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& (x=nT)\\ 0& (x\ne nT)\end{array}.$$

連続関数との積を取ることにより、一定間隔で離散化（サンプリング）した数値列を得ることができるわけではない（クロネッカーのデルタ関数と混同しないこと）。 連続関数と積を取った後、積分を行うことで、積分を一定間隔値の無限和に変換する性質を持つ。サンプラーのモデルとしても扱われる。

特徴

くし型関数のフーリエ変換はくし型関数になる。

$$ℱ({\delta }_T)=\frac{\sqrt{2\pi }}{T}{\mathrm{comb}}_{\frac{2\pi }{T}}(\omega )$$

ただしフーリエ変換すると周期が テンプレート:Mvar から テンプレート:Math になる。 なお当然のことながら、積分を使わない離散フーリエ変換をくし型関数に定義することはできない。

以下のポアソン和公式が成り立つ：

$$\frac{1}{T}\mathrm{comb}\left(\frac{x}{T}\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-nT)=\frac{1}{T}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp \left(\frac{2\pi imx}{T}\right)$$