べき乗法のソースを表示

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'''べき乗法'''（冪乗法、べきじょうほう）とはある<math>n \times n</math>行列の[[固有値]]のうち、絶対値最大のものを求める手法の総称であり、いくつかのバリエーションがある。累乗法とも呼ばれる。

典型的には、与えられた<math>n \times n</math>行列<math>\mathbf{A}</math>に対して、適当な初期ベクトル<math>\mathbf{x}^{(0)}</math>から始めて、逐次

:<math>\mathbf{x}^{(k)} = \mathbf{A} \mathbf{x}^{(k-1)}</math>

を計算することで、<math>\mathbf{x}^{(k)}</math>が<math>\mathbf{A}</math>の絶対値最大の固有値<math>\lambda_1</math>に属する[[固有ベクトル]]の方向に漸近していくことを利用し、

:<math>\lim_{k \to \infty}\dfrac{\mathbf{x}^{(k){\rm T}}\mathbf{x}^{(k)}}{\mathbf{x}^{(k){\rm T}}\mathbf{x}^{(k-1)}} = \lambda_1</math>

により絶対値最大の固有値を得る。ただしベクトル列<math>\{\mathbf{x}^{(k)}\}</math>が定ベクトルに収束していくわけではないことに注意する。

また、べき乗法に類似した、絶対値最小の固有値を求める方法として[[逆べき乗法]]がある。

==収束の証明==
簡単のため、<math>n \times n</math>行列<math>\mathbf{A}</math>の固有値<math>\lambda_i (i=1,2,\cdots,n)</math>がすべて互いに異なり

:<math>\mid\lambda_1\mid>\mid\lambda_2\mid>\cdots>\mid\lambda_n\mid</math>

であるとする。ここで、<math>\lambda_i</math>に属する<math>\mathbf{A}</math>の固有ベクトルを<math>\mathbf{u}_i</math>とすると、<math>\mathbf{u}_i</math>は

:<math>\mathbf{A}\mathbf{u}_i = \lambda_i \mathbf{u}_i</math>

をみたす。また、<math>\mathbf{u}_i</math>は互いに1次独立なので、初期ベクトル<math>\mathbf{x}^{(0)}</math>はこれらの1次結合により

:<math>\mathbf{x}^{(0)} = c_{1}\mathbf{u}_{1} + c_{2}\mathbf{u}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{u}_{n}</math>

と表すことができる。ここで、<math>c_1 \neq 0</math>とすれば、<math>\mathbf{x}^{(k)}</math>は以下のように表される。

:<math>\mathbf{x}^{(k)} = \mathbf{A}^{k}\mathbf{x}^{(0)} = c_{1}{\lambda_1}^{k}\mathbf{u}_{1} + c_{2}{\lambda_2}^{k}\mathbf{u}_{2} + \cdots + c_{n}{\lambda_n}^{k}\mathbf{u}_{n}

=c_1{\lambda_1}^{k}\biggl\{\mathbf{u}_1 + \dfrac{c_2}{c_1}\left(\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^k\mathbf{u}_2 + \cdots + \dfrac{c_n}{c_1}\left(\dfrac{\lambda_n}{\lambda_1}\right)^k\mathbf{u}_n \biggr\}</math>

仮定より<math>\mid\lambda_l/\lambda_1\mid<1 \left(l\neq1\right)</math>なので、<math>k\rightarrow\infty</math>のとき<math>\mathbf{x}^{(k)}</math>は絶対値最大の固有値<math>\lambda_1</math>に属する固有ベクトル<math>\mathbf{u}_1</math>と同じ方向<math>c_1{\lambda_1}^k\mathbf{u}_1</math>に近づいていく。


絶対値最大の固有値<math>\lambda_1</math>を求めるときは、

:<math>\mathbf{x}^{(k-1)} = c_1{\lambda_1}^{k-1}\biggl\{\mathbf{u}_1 + \dfrac{c_2}{c_1}\left(\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^{k-1}\mathbf{u}_2 + \cdots + \dfrac{c_n}{c_1}\left(\dfrac{\lambda_n}{\lambda_1}\right)^{k-1}\mathbf{u}_n \biggr\}</math>

より、

:<math>\lim_{k \to \infty}\dfrac{\mathbf{x}^{(k){\rm T}}\mathbf{x}^{(k)}}{\mathbf{x}^{(k){\rm T}}\mathbf{x}^{(k-1)}} = \lambda_1</math>

となることを利用する。

行列<math>\mathbf{A}</math>の固有値が重複を持ち更に対角化可能でない場合も、ジョルダン標準形を考えれば同様の考え方で証明できる。

== 欠点 ==
最大固有値と、その次に大きい固有値の差が小さすぎる場合、収束が極めて遅くなる。

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2018年1月|section=1}}
* {{Cite book|和書|author=森正武|authorlink=森正武|year=2002|month=2|title=数値解析|publisher=共立出版|isbn=4-320-01701-3|}}

==関連項目==
* [[固有値問題]]
* [[逆べき乗法]]
{{linear algebra}}
{{DEFAULTSORT:へきしようほう}}
[[Category:数値線形代数]]
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]