べき乗法

べき乗法（冪乗法、べきじょうほう）とはある$n\times n$行列の固有値のうち、絶対値最大のものを求める手法の総称であり、いくつかのバリエーションがある。累乗法とも呼ばれる。

典型的には、与えられた$n\times n$行列$𝐀$に対して、適当な初期ベクトル${𝐱}^{(0)}$から始めて、逐次

${𝐱}^{(k)}=𝐀{𝐱}^{(k-1)}$

を計算することで、${𝐱}^{(k)}$が$𝐀$の絶対値最大の固有値${\lambda }_1$に属する固有ベクトルの方向に漸近していくことを利用し、

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{𝐱}^{(k)\mathrm{T}}{𝐱}^{(k)}}{{𝐱}^{(k)\mathrm{T}}{𝐱}^{(k-1)}}={\lambda }_1$

により絶対値最大の固有値を得る。ただしベクトル列$\{{𝐱}^{(k)}\}$が定ベクトルに収束していくわけではないことに注意する。

また、べき乗法に類似した、絶対値最小の固有値を求める方法として逆べき乗法がある。

収束の証明

簡単のため、$n\times n$行列$𝐀$の固有値${\lambda }_i(i=1,2,\cdots ,n)$がすべて互いに異なり

$\mid {\lambda }_1\mid >\mid {\lambda }_2\mid >\cdots >\mid {\lambda }_n\mid$

であるとする。ここで、${\lambda }_i$に属する$𝐀$の固有ベクトルを${𝐮}_i$とすると、${𝐮}_i$は

$𝐀{𝐮}_i={\lambda }_i{𝐮}_i$

をみたす。また、${𝐮}_i$は互いに1次独立なので、初期ベクトル${𝐱}^{(0)}$はこれらの1次結合により

${𝐱}^{(0)}=c_1{𝐮}_1+c_2{𝐮}_2+\cdots +c_n{𝐮}_n$

と表すことができる。ここで、$c_1\ne 0$とすれば、${𝐱}^{(k)}$は以下のように表される。

${𝐱}^{(k)}={𝐀}^k{𝐱}^{(0)}=c_1{{\lambda }_1}^k{𝐮}_1+c_2{{\lambda }_2}^k{𝐮}_2+\cdots +c_n{{\lambda }_n}^k{𝐮}_n=c_1{{\lambda }_1}^k\{{𝐮}_1+\frac{c_2}{c_1}{\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}\right)}^k{𝐮}_2+\cdots +\frac{c_n}{c_1}{\left(\frac{{\lambda }_n}{{\lambda }_1}\right)}^k{𝐮}_n\}$

仮定より$\mid {\lambda }_l/{\lambda }_1\mid <1(l\ne 1)$なので、$k\to \mathrm{\infty }$のとき${𝐱}^{(k)}$は絶対値最大の固有値${\lambda }_1$に属する固有ベクトル${𝐮}_1$と同じ方向$c_1{{\lambda }_1}^k{𝐮}_1$に近づいていく。

絶対値最大の固有値${\lambda }_1$を求めるときは、

${𝐱}^{(k-1)}=c_1{{\lambda }_1}^{k-1}\{{𝐮}_1+\frac{c_2}{c_1}{\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}\right)}^{k-1}{𝐮}_2+\cdots +\frac{c_n}{c_1}{\left(\frac{{\lambda }_n}{{\lambda }_1}\right)}^{k-1}{𝐮}_n\}$

より、

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{𝐱}^{(k)\mathrm{T}}{𝐱}^{(k)}}{{𝐱}^{(k)\mathrm{T}}{𝐱}^{(k-1)}}={\lambda }_1$

となることを利用する。

行列$𝐀$の固有値が重複を持ち更に対角化可能でない場合も、ジョルダン標準形を考えれば同様の考え方で証明できる。

欠点

最大固有値と、その次に大きい固有値の差が小さすぎる場合、収束が極めて遅くなる。

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• 固有値問題
• 逆べき乗法