逆べき乗法

逆べき乗法（逆冪乗法、ぎゃくべきじょうほう）もしくは逆反復（法）とは、ある$n\times n$の行列$𝐀$が正則行列であるときに、行列$𝐀$の固有値のうち、絶対値最小のものを求める手法である。

具体的には、適当な初期ベクトル${𝐲}^{(0)}$から始めて、逐次

${𝐲}^{(k)}={𝐀}^{-1}{𝐲}^{(k-1)}$

を計算することで、${𝐲}^{(k)}$が$𝐀$の絶対値最小の固有値${\lambda }_n$に属する固有ベクトルに収束していくことを利用し、

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{𝐲}^{(k)\mathrm{T}}{𝐲}^{(k)}}{{𝐲}^{(k)\mathrm{T}}{𝐲}^{(k-1)}}=\frac{1}{{\lambda }_n}$

により絶対値最小の固有値を得る。

　絶対値最大の固有値を求める手法としてはべき乗法が有名である。逆べき乗法は行列${𝐀}^{-1}$に対してべき乗法を適用しているため、収束の証明はべき乗法と同様である。

参考文献

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関連項目

• 固有値問題
• べき乗法