アイゼンシュタインの既約判定法のソースを表示

'''アイゼンシュタインの既約判定法'''（アイゼンシュタインのきやくはんていほう、{{lang-en-short|''Eisenstein's criterion''}}）は[[整数|整]]係数の[[多項式]]が[[有理数]]体 <math>{\mathbb{Q}}</math> 上で[[既約多項式|既約]]であるための[[十分条件]]を与える[[定理]]である。[[フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタイン|ゴットホルト・アイゼンシュタイン]]が1850年に発表した論文が由来<ref>{{Harvtxt|Eisenstein|1850}}</ref>。20世紀初頭では、'''シェーネマン＝アイゼンシュタインの既約判定法'''とも呼ばれていた。これは、1846年に{{仮リンク|テオドル・シェーネマン|en|Theodor Schönemann}}がこの定理を最初に発表した<ref>{{Harvtxt|Schönemann|1846}}</ref>ことに由来する<ref name="Cox">{{harvtxt|Cox|2011}}</ref><ref name="Dorwart">{{harvtxt|Dorwart|1935}}</ref>。

== 定理 ==
:<math>P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} +\dotsb + a_1 x + a_0</math>
を整数係数の多項式とする。ある[[素数]] {{mvar|p}} が存在して、整数 {{math2|''a''{{sub|0}}, ''a''{{sub|1}}, …, ''a{{sub|n}}''}} が
*{{math2|''i'' ≠ ''n''}} の場合は {{mvar|a{{sub|i}}}} は {{mvar|p}} で割り切れる
*{{mvar|a{{sub|n}}}} は {{mvar|p}} で割り切れない
*{{math|''a''{{sub|0}}}} は {{math|''p''{{sup|2}}}} で割り切れない
を満たすならば、<math>P(x)</math> は有理数体 <math>{\mathbb{Q}}</math> 上で[[既約多項式|既約]]である。

上の定理の係数環 <math>Z</math> は一意分解環にまで一般化できる。即ち以下が成り立つ。証明は全く同様である。
:<math>A</math> を[[一意分解環]]、<math>K</math> をその[[商体]]とする。<math>P(x)= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0</math>
を <math>A</math> 係数の多項式とする。ある <math>A</math> の[[素元]] {{mvar|p}} が存在して、{{math2|''a''{{sub|0}}, ''a''{{sub|1}}, …, ''a{{sub|n}}''}} が
*{{math|''i'' ≠ ''n''}} の場合は {{mvar|a{{sub|i}}}} は {{mvar|p}} で割り切れる
*{{mvar|a{{sub|n}}}} は {{mvar|p}} で割り切れない
*{{math|''a''{{sub|0}}}} は {{math|''p''{{sup|2}}}} で割り切れない
を満たすならば、<math>P(x)</math> は体 <math>K</math> 上で既約である。

さらに係数環を[[整域]]にまで拡張できる（詳細は英語版を参照のこと）。

== 例 ==
* 複素係数多項式 <math>X^2+Y^2-1</math> は既約である。実際 <math>C[X]</math> 係数の一変数多項式と見て素元として <math>X-1</math> と選べばよい。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|2}}

== 関連項目 ==
<!--項目の50音順-->
{{Div col}}
*[[コーンの既約判定法]]
{{Div col end}}

== 参考文献 ==
*{{Citation
 |first = David A.
 |last = Cox
 |authorlink = :en:David A. Cox
 |title = Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first
 |journal = [[American Mathematical Monthly]]
 |volume = 118
 |issue = 1
 |year = 2011
 |pages = 3-31
 |doi=10.4169/amer.math.monthly.118.01.003
}}.
*{{Citation
 |first = H. L.
 |last = Dorwart
 |title = Irreducibility of polynomials
 |journal = [[American Mathematical Monthly]]
 |volume = 42
 |issue = 6
 |year = 1935
 |pages = 369-381
 |url = http://www.jstor.org/stable/2301357
 |doi = 10.2307/2301357
}}.
*{{Citation
 |first = Gotthold
 |last = Eisenstein
 |authorlink = フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタイン
 |title = Über die Irredicibilität une einige andere Eigenschaften der Gleichung von welche der Theilung der ganzen Lemniscate abhängt
 |journal = [[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
 |year = 1850
 |volume = 1850
 |issue = 39
 |pages = 160-179
 |doi=10.1515/crll.1850.39.160
}}.
*{{Citation
 |first = D.J.H.
 |last = Garling
 |title = A Course in Galois Theory
 |publisher = [[Cambridge University Press]]
 |year = 1986
 |isbn = 0-521-31249-3
}}.
*{{SpringerEOM|title=Algebraic equation|urlname=Algebraic_equation}}.
*{{Citation
 |first = Theodor
 |last = Schönemann
 |authorlink = :en:Theodor Schönemann
 |title = Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind
 |journal = [[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
 |year = 1846
 |volume = 1846
 |issue = 32
 |pages = 93-118
 |doi=10.1515/crll.1846.32.93
}}.
*{{Citation
 |first = Theodor
 |last = Schönemann
 |authorlink = :en:Theodor Schönemann
 |title = Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze, irreductible Congruenzen betreffend (S.182 Bd. 39 dieses Journals)
 |journal = [[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
 |year = 1850
 |volume = 1850
 |issue = 40
 |pages = 185-188
 |doi=10.1515/crll.1850.40.185
}}.

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|アイゼンシュタインの定理|2=世界大百科事典}}
*{{高校数学の美しい物語|768|アイゼンシュタインの定理}}
*{{MathWorld|title=Eisenstein's Irreducibility Criterion|urlname=EisensteinsIrreducibilityCriterion|author=Barile, Margherita}}

{{Abstract-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:あいせんしゆたいんのきやくはんていほう}}<!--カテゴリの50音順-->
[[Category:体論]]
[[Category:多項式]]
[[Category:数学に関する記事]]