アイゼンシュタインの既約判定法

アイゼンシュタインの既約判定法（アイゼンシュタインのきやくはんていほう、テンプレート:Lang-en-short）は整係数の多項式が有理数体 $ℚ$ 上で既約であるための十分条件を与える定理である。ゴットホルト・アイゼンシュタインが1850年に発表した論文が由来^[1]。20世紀初頭では、シェーネマン＝アイゼンシュタインの既約判定法とも呼ばれていた。これは、1846年にテンプレート:仮リンクがこの定理を最初に発表した^[2]ことに由来する^[3]^[4]。

定理

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

を整数係数の多項式とする。ある素数テンプレート:Mvar が存在して、整数テンプレート:Math2 が

を満たすならば、 $P (x)$ は有理数体 $ℚ$ 上で既約である。

上の定理の係数環 $Z$ は一意分解環にまで一般化できる。即ち以下が成り立つ。証明は全く同様である。

A

K

をその商体とする。

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

を $A$ 係数の多項式とする。ある $A$ の素元テンプレート:Mvar が存在して、テンプレート:Math2 が

を満たすならば、 $P (x)$ は体 $K$ 上で既約である。

さらに係数環を整域にまで拡張できる（詳細は英語版を参照のこと）。