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'''アダマール正則化'''（アダマールせいそくか、{{lang-en-short|Hadamard regularization}}）あるいは'''アダマールの有限部分'''（アダマールのゆうげんぶぶん、{{lang-en-short|Hadamard finite part, Hadamard's partie finie}}）は、発散積分の発散項を取り除き有限部分を残すことで積分を{{仮リンク|正則化 (物理学)|en|Regularization (physics)|label=正則化}}するという、正則化の手法である。この方法は {{harvs|txt|authorlink=ジャック・アダマール|last=Hadamard|year1=1923|loc1=book III, chapter I|year2=1932}} によって導入された。{{harvs|txt|authorlink=リース・マルツェル|last=Riesz|year1=1938|year2=1949}} はこの手法を、収束積分の[[解析接続|有理型接続]]をとることとして解釈できることを示した。

次の[[コーシーの主値]]が存在するなら、
: <math>\mathcal{C}\int_a^b \frac{f(t)}{t-x} \, dt \quad (\hbox{for}~~ a<x<b)</math>
その {{mvar|x}} に関する[[微分]]から、以下のアダマールの有限部分積分が得られる。
: <math>\frac{d}{dx} \left(\mathcal{C}\int_{a}^{b} \frac{f(t)}{t-x} \,dt\right) = \mathcal{H}\int_a^b \frac{f(t)}{(t-x)^2}\, dt \quad (\hbox{for}~~ a<x<b).</math>
ここで  <math>\mathcal{C}</math> はコーシーの主値、<math>\mathcal{H}</math> はアダマールの有限部分をそれぞれ表す。

また、上記の {{math|''a'' &lt; ''x'' &lt; ''b''}} のアダマールの有限部分積分は次のようにも定義できる。
: <math>\mathcal{H}\int_a^b \frac{f(t)}{(t-x)^2}\, dt = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left\{ \int_a^{x-\varepsilon}\frac{f(t)}{(t-x)^2}\,dt + \int_{x+\varepsilon}^b\frac{f(t)}{(t-x)^2}\,dt -\frac{2f(x)}{\varepsilon}\right\},</math>
: <math>\mathcal{H}\int_a^b \frac{f(t)}{(t-x)^2}\, dt = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left\{ \int_a^{b}\frac{(t-x)^{2}f(t)}
{((t-x)^2+\varepsilon^2)^2}\,dt -\frac{\pi f(x)}{2\varepsilon}-\frac{f(x)}{2}(\frac{1}{b-x}-\frac{1}{a-x})\right\}. </math>   

これらの定義は、{{math|''a'' &lt; ''x'' &lt; ''b''}} として関数 {{math|''f''&thinsp;(''t'')}} が {{math|''t'' {{=}} ''x''}} で無限階微分可能であると見なすこと、すなわち関数 {{math|''f''&thinsp;(''t'')}} が {{math|''t'' {{=}} ''x''}} の周りで[[テイラー展開]]可能であると見なすことから導かれる<ref>詳細は {{harvs|txt|last=Ang|year1=2013}} を参照。ただし {{harvs|txt|last=Ang|year1=2013}} では 2 番目の定義式に誤植があり、右辺第 3 項が抜け落ちていることには注意。これは誤植訂正表にて訂正されている。</ref>。

アダマールの有限部分積分（と未知関数 {{math|''f''&thinsp;(''t'')}}）を含む積分方程式は、'''超特異積分方程式''' {{en|(hypersingular integral equation)}} と呼ばれる。超特異積分方程式は[[破壊力学|破壊解析]]のような力学の問題を定式化する上でしばしば現れる。

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{Citation
 | last =Ang
 | first =Whye-Teong
 | author-link =
 | title =Hypersingular Integral Equations in Fracture Analysis
 | place =Oxford
 | publisher =[[:en:Woodhead Publishing|Woodhead Publishing]]
 | year =2013
 | pages =19-24
 | language =
 | url =https://books.google.co.jp/books?id=rDGTlAEACAAJ&redir_esc=y&hl=ja
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 | id =
 | isbn =978-0-85709-479-7
 | mr =
 | zbl =
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*{{Citation | last1=Blanchet | first1=Luc | last2=Faye | first2=Guillaume | title=Hadamard regularization | doi=10.1063/1.1308506 | year=2000 | journal=[[:en:Journal of Mathematical Physics|Journal of Mathematical Physics]] | issn=0022-2488 | volume=41 | issue=11 | pages=7675–7714 | mr=1788597 | zbl = 0986.46024 }}.
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*{{Citation | last1=Hadamard | first1=J. | title=Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques | publisher= Hermann & Cie.|place=Paris  | language=French | zbl=0006.20501 | year=1932 | pages=542}}.
*{{Citation 
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| first1=Marcel 
| author1-link=リース・マルツェル
| title=Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels. 
| language=French 
| year=1938 
| url = http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=5634&dataObjectType=article
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| location = Szeged
| issue = 1–1
| volume=9 
| pages=1–42
| jfm = 64.0476.03
| zbl=0018.40704}}.
*{{Citation 
| last1=Riesz 
| first1=Marcel 
| author1-link=リース・マルツェル
| title=Rectification au travail "Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels" 
| language=French 
| year=1938 
| url = http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=5667&dataObjectType=article
| journal = [[:en:Acta Scientiarum Mathematicarum|Acta Litt. Ac Sient. Univ. Hung. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Math.]]
| location =[[セゲド|Szeged]]
| issue = 2–2
| volume= 9 
| pages=116–118
| jfm = 65.1272.03
| zbl=0020.36402}}.
*{{Citation | last1=Riesz | first1=Marcel | author1-link=リース・マルツェル | title=L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy | doi=10.1007/BF02395016 | year=1949 | journal=[[Acta Mathematica]] | issn=0001-5962 | volume=81 | pages=1–223 | mr=0030102 | zbl = 0033.27601}}

{{DEFAULTSORT:あたまあるせいそくか}}
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