アダマール正則化

アダマール正則化（アダマールせいそくか、テンプレート:Lang-en-short）あるいはアダマールの有限部分（アダマールのゆうげんぶぶん、テンプレート:Lang-en-short）は、発散積分の発散項を取り除き有限部分を残すことで積分をテンプレート:仮リンクするという、正則化の手法である。この方法は テンプレート:Harvs によって導入された。テンプレート:Harvs はこの手法を、収束積分の有理型接続をとることとして解釈できることを示した。

次のコーシーの主値が存在するなら、

$𝒞\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)}{t-x}dt(\text{for}a<x<b)$

その テンプレート:Mvar に関する微分から、以下のアダマールの有限部分積分が得られる。

$\frac{d}{dx}\left(𝒞\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)}{t-x}dt\right)=\mathscr{H}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)}{(t-x{)}^2}dt(\text{for}a<x<b).$

ここで $𝒞$ はコーシーの主値、$\mathscr{H}$ はアダマールの有限部分をそれぞれ表す。

また、上記の テンプレート:Math のアダマールの有限部分積分は次のようにも定義できる。

$\mathscr{H}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)}{(t-x{)}^2}dt=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\{\underset{a}{\overset{x-\epsilon }{\int }}\frac{f(t)}{(t-x{)}^2}dt+\underset{x+\epsilon }{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)}{(t-x{)}^2}dt-\frac{2f(x)}{\epsilon }\},$

$\mathscr{H}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)}{(t-x{)}^2}dt=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\{\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{(t-x{)}^{2}f(t)}{((t-x{)}^2+{\epsilon }^2{)}^2}dt-\frac{\pi f(x)}{2\epsilon }-\frac{f(x)}{2}(\frac{1}{b-x}-\frac{1}{a-x})\}.$

これらの定義は、テンプレート:Math として関数 テンプレート:Math が テンプレート:Math で無限階微分可能であると見なすこと、すなわち関数 テンプレート:Math が テンプレート:Math の周りでテイラー展開可能であると見なすことから導かれる。

アダマールの有限部分積分（と未知関数 テンプレート:Math）を含む積分方程式は、超特異積分方程式 テンプレート:En と呼ばれる。超特異積分方程式は破壊解析のような力学の問題を定式化する上でしばしば現れる。

参考文献

• テンプレート:Citation.
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