アダマール積のソースを表示

[[Image:Hadamard product qtl1.svg|thumb|アダマール積は同じサイズの行列ふたつから、同じサイズの行列を作る操作である]]
[[数学]]における'''アダマール積'''（{{lang-en-short|Hadamard product}}）は、同じサイズの[[行列]]に対して成分ごとに[[積]]を取ることによって定まる行列の[[二項演算|積]]である。'''要素ごとの積'''（{{lang-en-short|element-wise product}}）、'''シューア積'''（{{lang-en-short|Schur product}}）、'''点ごとの積'''（{{lang-en-short|pointwise product}}）、'''成分ごとの積'''（{{lang-en-short|entrywise product}}）などとも呼ばれる。

[[ジャック・アダマール]]や[[イサイ・シューア]]らの貢献があり、名称はそれに因むものである。

アダマール積は[[結合法則|結合的]]かつ通常の行列の和（成分ごとの和）に対して[[分配法則|分配的]]であり、かつ通常の行列の積とは異なり（係数環が可換ならば）常に[[交換法則|可換]]である。

== 定義 ==
同じサイズ {{math|''m''&thinsp;&times;&thinsp;''n''}} を持つふたつの行列 {{math|''A'' {{=}} (''a<sub>i,j</sub>''&thinsp;), ''B'' {{=}} (''b<sub>i,j</sub>''&thinsp;)}} に対し、それらのアダマール積 {{math|''A''&thinsp;∘&thinsp;''B''}} は
:<math>A \circ B = (a_{ij}\cdot b_{ij})_{1\le i\le m\atop 1\le j\le n} </math>
で定義される、やはりサイズが同じく {{math|''m''&thinsp;&times;&thinsp;''n''}} の行列である。

サイズが異なる行列に対しては（つまり掛け合わせる行列のサイズをそれぞれ {{math|''m''&thinsp;&times;&thinsp;''n''}}, {{math|''p''&thinsp;&times;&thinsp;''q''}} とすれば、{{math|''m'' &ne; ''p''}} または {{math|''n'' &ne; ''q''}} あるいはその両方であるときは）アダマール積は定義されない。

== 例 ==
3 &times; 3 行列 {{math|''A'' {{=}} (''a<sub>i,j</sub>''&thinsp;)}} と 3 &times; 3 行列 {{math|''B'' {{=}} (''b<sub>i,j</sub>''&thinsp;)}} のアダマール積は以下のようになる。
:<math> 
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \circ
\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} a_{11}\, b_{11} & a_{12}\, b_{12} & a_{13}\, b_{13}\\ a_{21}\, b_{21} & a_{22}\, b_{22} & a_{23}\, b_{23}\\ a_{31}\, b_{31} & a_{32}\, b_{32} & a_{33}\, b_{33} \end{bmatrix}
</math>

== 性質 ==
アダマール積は[[交換法則|可換]]、[[結合法則|結合的]]、かつ加法に対して[[分配法則|分配的]]である。つまり、
: <math>A \circ B = B \circ A,</math>
: <math>A \circ (B \circ C) = (A \circ B) \circ C,</math>
: <math>A \circ (B + C) = A \circ B + A \circ C</math>
が成り立つ。{{math|''m''&thinsp;&times;&thinsp;''n''}}-行列のアダマール積において[[単位元]]となる行列（いうなれば「単位行列」）は全ての成分が {{math|1}} となる {{math|''m''&thinsp;&times;&thinsp;''n''}}-行列である。これはもちろん、通常の行列の積に関する[[単位行列]]（これは対角成分だけが {{math|1}} でそのほかはすべて {{math|0}} となる行列）とは異なる。さらに言えば、明らかにアダマール積に関する意味での「[[逆行列]]」を持つための必要十分条件は、その行列の成分にひとつも {{math|0}} に等しいものが無いことである<ref name=hadamardpdf1>{{cite web|last=Million|first=Elizabeth|title=The Hadamard Product|url=http://buzzard.ups.edu/courses/2007spring/projects/million-paper.pdf|accessdate=2 January 2012}}</ref>。 

ベクトル {{math|''x'', ''y''}} に対して、それを主対角線に持つ[[対角行列]] {{math|''D''{{sub|''x''}}, ''D''{{sub|''y''}}}} を考えると、以下が成り立つ<ref>{{Harvard citations | last1=Horn | last2=Johnson | year=1991| page=306}}</ref>:
: <math>x^*(A \circ B)y = \operatorname{tr}(D_x^* A D_y B^\intercal).</math>
{{math|''x''{{sup|&lowast;}}}} は {{mvar|x}} の[[随伴行列|随伴]]である。特に、成分が全て {{math|1}} であるようなベクトルを考えれば、アダマール積の成分の総和が {{math|''AB''{{sup|T}}}} の[[蹟 (線型代数学)|蹟]]に等しいことが分かる。関係する結果として、[[正方行列]] {{math|''A'', ''B''}} に対してそれらのアダマール積の行和は {{math|''AB''{{sup|T}}}} の対角成分に等しい<ref name="styan1973"/>。
:<math>\sum_i (A \circ B)_{i,j} = \left(B^\intercal A\right)_{j,j}.</math>
:<math>\sum_j (A \circ B)_{i,j} = \left(AB^\intercal \right)_{i,i}.</math>

アダマール積は[[クロネッカー積]]の[[小行列|主小行列]]である。

== シューア積定理 ==
{{Main|{{仮リンク|シューア積定理|en|Schur product theorem}}}}
ふたつの[[正定値行列|半正定値行列]]のアダマール積はまた半正定値である<ref name=styan1973>{{Harvard citations | last=Styan | year=1973}}</ref>。これをドイツの数学者[[イサイ・シューア]]に因んでシューア積定理とも呼ぶ<ref name=hadamardpdf1/>。半正定値行列 {{mvar|A, B}} に対して
:<math>\det(A \circ B) \ge \det(A) \det(B)</math>
が知られている<ref name=styan1973/>。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[行列の乗法]]
* [[点ごとの積]]

{{DEFAULTSORT:あたまあるせき}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:行列]]
[[Category:二項演算]]
[[Category:双線型演算]]
[[Category:乗法]]
[[Category:ジャック・アダマール]]
[[Category:数学に関する記事]]