アフィン結合のソースを表示

[[数学]]において、'''アフィン結合'''（アフィンけつごう、{{lang-en-short|affine combination}}）は、[[ベクトル空間]]における[[線型結合]]の特別の場合であって、主に（[[ユークリッド空間]]などの）[[アフィン空間]]に対して用いられ、したがってこの概念は[[ユークリッド幾何学]]において重要となる。

ある列ベクトル B に対して[[確率行列]] A を作用させる時、得られる結果は A の各行の成分を係数とする B のアフィン結合からなる列ベクトルである。

== 定義 ==
与えられた[[可換体|体]] ''K'' 上の[[ベクトル空間]] {{mvar|V}} において、その元 {{math|''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>}} の {{math|&alpha;{{sub|1}}, …, &alpha;{{sub|''n''}}}} を係数とする'''アフィン結合'''とは、係数和が 1, つまり {{math|&sum;{{su|b= ''i''{{=}}1|p= ''n''}} &alpha;{{sub|''i''}} {{=}} 1}} を満たすような[[線型結合]]
:<math> \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}x_{i} = \alpha_{1} x_{1} + \alpha_{2} x_{2} + \cdots +\alpha_{n} x_{n} </math>
を言う。

== アフィン幾何 ==
{{seealso|アフィン空間|[[アフィン幾何学]]|アフィン包}}
特に、ベクトル空間 {{mvar|V}} を任意の[[アフィン空間]]に付随するベクトル空間として考えるとき（例えば、原点を忘れることにより {{mvar|V}} 自身を {{mvar|V}} の付随するベクトル空間とするアフィン空間と見做すことができる）、その[[アフィン部分空間]] {{mvar|A}} は適当な点 {{math|''p''{{sub|0}} &isin; V}} と[[線型部分空間]] {{math|''U'' &sub; ''V''}} を用いて {{math|''A'' {{=}} ''p''{{sub|0}} + ''U''}} の形に書くことができることを思い出そう。このとき {{mvar|A}} の任意の点 {{mvar|p}} は {{math|''p'' &minus; ''p''{{sub|0}} &isin; ''U''}} を満たすから、適当な {{mvar|A}} の点 {{math|''p''{{sub|1}}, …, ''p''{{sub|''n''}}}} を選んでベクトル{{math|''p''{{sub|1}} &minus; ''p''{{sub|0}}, …, ''p''{{sub|''n''}} &minus; ''p''{{sub|0}}}} が {{mvar|U}} の基底となるようにすることができて、
: <math>p-p_0 =  \mu_1(p_1-p_0) + \cdots + \mu_n(p_n-p_0)</math>
と書ける。ここで、{{math|&lambda;{{sub|0}} :{{=}} 1 &minus; &sum;{{su|b= ''i''{{=}}1|p= ''n''}} &mu;{{sub|''i''}}, &lambda;{{sub|''i''}} :{{=}} &mu;{{sub|''i''}} (''i'' {{=}} 1, …, ''n'')}} と置けば
: <math>p = \lambda_0p_0 + \lambda_1p_1 + \cdots + \lambda_np_n\qquad \left(\sum_{i=0}^n \lambda_n = 1\right),</math>
すなわち、{{mvar|p}} は {{mvar|A}} の（{{仮リンク|一般の位置|en|General position}}にある）{{math|''n'' + 1}} 個の点のアフィン結合である。このとき、座標系 {{math|(&mu;{{sub|1}}, …, &mu;{{sub|''n''}})}} は {{mvar|p}} の（非斉次）アフィン座標系と呼ばれ、{{math|(&lambda;{{sub|0}}, &lambda;{{sub|1}}, …, &lambda;{{sub|''n''}})}} は基底点 {{math|''p''{{sub|0}}, …, ''p''{{sub|''n''}}}} に関する {{mvar|p}} の{{仮リンク|重心座標系|label=アフィン重心座標系|en|Barycentric coordinate system}} {{lang|en|(barycentric affine coordinate)}} と呼ばれる。

アフィン結合を取る操作は、

:<math> T\bigg(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}x_{i}\biggr) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}T(x_{i})</math>

が成立すると言う意味で、任意の[[アフィン変換]] {{mvar|T}} と可換である。特に、与えられた[[アフィン変換]] {{mvar|T}} の[[不動点]]からなる任意のアフィン結合もまた {{mvar|T}} の不動点である。したがって {{mvar|T}} の不動点全体の成す集合は[[アフィン空間|アフィン部分空間]]を形成する（3次元において、直線あるいは平面、または自明な場合は一点あるいは全空間である）。

== 関連項目 ==
* [[凸結合]]
* [[錐結合]]
* [[線型結合]]

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Gallier | first1=Jean | title=Geometric Methods and Applications | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-95044-0 | year=2001}}. ''See chapter 2''.

== 外部リンク ==
* [http://graphics.cs.ucdavis.edu/education/GraphicsNotes/GraphicsNotes/Affine-Combinations/Affine-Combinations.html Notes on affine combinations.]

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[[Category:数学に関する記事]]