アフィン結合

数学において、アフィン結合（アフィンけつごう、テンプレート:Lang-en-short）は、ベクトル空間における線型結合の特別の場合であって、主に（ユークリッド空間などの）アフィン空間に対して用いられ、したがってこの概念はユークリッド幾何学において重要となる。

ある列ベクトル B に対して確率行列 A を作用させる時、得られる結果は A の各行の成分を係数とする B のアフィン結合からなる列ベクトルである。

定義

与えられた体 K 上のベクトル空間 テンプレート:Mvar において、その元 テンプレート:Math の テンプレート:Math を係数とするアフィン結合とは、係数和が 1, つまり テンプレート:Math を満たすような線型結合

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i={\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n$

を言う。

アフィン幾何

テンプレート:Seealso 特に、ベクトル空間 テンプレート:Mvar を任意のアフィン空間に付随するベクトル空間として考えるとき（例えば、原点を忘れることにより テンプレート:Mvar 自身を テンプレート:Mvar の付随するベクトル空間とするアフィン空間と見做すことができる）、そのアフィン部分空間 テンプレート:Mvar は適当な点 テンプレート:Math と線型部分空間 テンプレート:Math を用いて テンプレート:Math の形に書くことができることを思い出そう。このとき テンプレート:Mvar の任意の点 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math を満たすから、適当な テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Math を選んでベクトルテンプレート:Math が テンプレート:Mvar の基底となるようにすることができて、

$p-p_0={\mu }_1(p_1-p_0)+\cdots +{\mu }_n(p_n-p_0)$

と書ける。ここで、テンプレート:Math と置けば

$p={\lambda }_0{p}_0+{\lambda }_1{p}_1+\cdots +{\lambda }_n{p}_n(\sum _{i=0}^n{\lambda }_n=1),$

すなわち、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の（テンプレート:仮リンクにある）テンプレート:Math 個の点のアフィン結合である。このとき、座標系 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の（非斉次）アフィン座標系と呼ばれ、テンプレート:Math は基底点 テンプレート:Math に関する テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンク テンプレート:Lang と呼ばれる。

アフィン結合を取る操作は、

$T\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i\right)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}T(x_i)$

が成立すると言う意味で、任意のアフィン変換 テンプレート:Mvar と可換である。特に、与えられたアフィン変換 テンプレート:Mvar の不動点からなる任意のアフィン結合もまた テンプレート:Mvar の不動点である。したがって テンプレート:Mvar の不動点全体の成す集合はアフィン部分空間を形成する（3次元において、直線あるいは平面、または自明な場合は一点あるいは全空間である）。

関連項目

• 凸結合
• 錐結合
• 線型結合

参考文献

• テンプレート:Citation. See chapter 2.

外部リンク

• Notes on affine combinations.