アポロニウスの円のソースを表示

[[Image:Apollonius circle definition labels.svg|thumb|アポロニウスの円。AP:BPが一定になるようにPを動かすと軌跡は円を描く。]]
'''アポロニウスの円'''（アポロニウスのえん）は、2[[定点]]A・Bをとり、点PをAP:BPが一定となるように（但しAP≠BP）したときの点Pの[[軌跡 (数学)|軌跡]]である。[[ペルガのアポロニウス]]の名前を残すが、起源はより古いと思われる。例えば、既に[[アリストテレス]]『[[気象論 (アリストテレス)|気象論]]』第三巻で虹の形状を論じるのに用いられている。

== 証明 ==
=== 初等幾何による証明 ===
[[画像:アポロニウスの円.svg|350px]]

点PをAP:BPが一定となるようにしたときの点Pの[[軌跡 (数学)|軌跡]]のうち、線分ABの上の点をQ、ABの延長線上の点をRとすると、
:AQ:QB=AP:PB
:AR:RB=AP:PB
[[角の二等分線の定理|内角と外角の二等分線の関係]]の逆より、PQとPRはそれぞれ∠APBの内角と外角の二等分線である。
よって、∠QPR=90°
ゆえに、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円である。

=== ベクトルによる証明（1） ===
''m'', ''n'' を互いに異なる正の実数とする。線分ABを ''m'' ： ''n'' に内分する点を Q、外分する点をRとすると、
:<math>\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n+m},\ \overrightarrow{\mathrm{PR}} = \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m}.</math>
このとき、
:<math>\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = m : n.</math>
:<math>\Leftrightarrow n|\overrightarrow{\mathrm{PA}}| = m|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|.</math>
:<math>\Leftrightarrow n^2|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^2 = m^2|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|^2.</math>
:<math>\Leftrightarrow (n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}})\cdot (n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}})=0.</math>
:<math>\Leftrightarrow \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n+m}\cdot \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m}=0.</math>
:<math>\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}} =0.</math>
:<math>\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \vec{0} \vee \overrightarrow{\mathrm{PR}} =\vec{0} \vee \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PR}}.</math>
:<math>\Leftrightarrow \mathrm{P}=\mathrm{Q} \vee \mathrm{P}=\mathrm{R} \vee \angle{\mathrm{QPR}}=90^\circ.</math>
したがって、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円になる。

=== ベクトルによる証明（2） ===
線分QRの中点をOとすると、
:<math>\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}, \ \overrightarrow{\mathrm{OR}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}.</math>
したがって、
:<math>\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot  \overrightarrow{\mathrm{PR}} = 0.</math>
:<math>\Leftrightarrow (\overrightarrow{\mathrm{PO}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PO}}+\overrightarrow{\mathrm{OR}}) = 0.</math>
:<math>\Leftrightarrow (\overrightarrow{\mathrm{PO}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PO}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}) = 0.</math>
:<math>\Leftrightarrow |\overrightarrow{\mathrm{PO}}|^2 = \left( \frac{1}{2}\right)^2|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|^2.</math>
:<math>\Leftrightarrow \mathrm{PO} = \frac{1}{2}\mathrm{QR}.</math>
これより、点Pの軌跡は線分QRの中点Oを中心とする半径 <math>\frac{1}{2}\mathrm{QR}</math> の円、すなわち線分QRを直径とする円になる。

=== アポロニウスの円の中心 ===
線分QRの中点をOとすると、点Oはアポロニウスの円の中心となり、
:<math>\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{PO}} &= \frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{PR}}}{2} \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n+m}+\frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m} \right) \\ &= \frac{(n-m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}})+(n+m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}})}{2(n+m)(n-m)} \\ &= \frac{2n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}}-2m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{2(n^2-m^2)} \\ &= \frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n^2-m^2}.\end{align}</math>
すなわち、点Oは線分ABを <math>m^2 : n^2</math> に外分する点になる。

=== アポロニウスの円の半径 ===
アポロニウスの円の半径を ''r'' とする。ここで平方完成

:<math>\begin{align}\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}} &= \frac{\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}}{2} \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m}-\frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n+m} \right) \\ &= \frac{(n+m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}})-(n-m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}})}{2(n+m)(n-m)} \\ &= \frac{2mn\overrightarrow{\mathrm{PA}}-2mn\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{2(n^2-m^2)} \\ &= \frac{mn(\overrightarrow{\mathrm{PB}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}})}{m^2-n^2} \\ &= \frac{mn}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\end{align}</math>

定義より、

:<math>\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AR}} &= \overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}} \\ &= \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m}-\overrightarrow{\mathrm{PA}} \\ &= \frac{m}{n-m}(\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}}) \\ &= \frac{m}{m-n}\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \\ \overrightarrow{\mathrm{QB}} &= \frac{n}{m+n}\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \\ \overrightarrow{\mathrm{AO}} &= \overrightarrow{\mathrm{PO}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}} \\ &= \frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n^2-m^2}-\overrightarrow{\mathrm{PA}} \\ &= \frac{m^2}{n^2-m^2}(\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}}) \\ &= \frac{m^2}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \\ \overrightarrow{\mathrm{BO}} &=
\overrightarrow{\mathrm{PO}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}} \\ &= \frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n^2-m^2}-\overrightarrow{\mathrm{PB}} \\ &= \frac{n^2}{n^2-m^2}(\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}}) \\ &= \frac{n^2}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\end{align}</math>

したがって、
:<math>r = \left|\frac{mn}{m^2-n^2}\right|\cdot\mathrm{AB} = \frac{\mathrm{AR}\cdot \mathrm{QB}}{\mathrm{AB}} = \sqrt{\mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}}.</math>

==アポロニウスの問題に対する解==
[[アポロニウスの問題]]に対する解はアポロニウスの円とも呼ばれる。

== 外部リンク ==
{{Commonscat|Circles of Apollonius}}
*[https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/33/33-8.pdf アポロニウスの円の中心について] - 『[[数研通信]]』33号
*[http://izumi-math.jp/F_Nakamura/aporo_3/aporo_3.htm アポロニウスの円の中心と半径]
*[http://izumi-math.jp/H_Yamazaki/aporo/aporo.htm アポロニウスの円～定義を少し広げる試み～]
*[http://sshmathgeom.private.coocan.jp/highschool/problem12.html 高校数学で注意して欲しいこと　2. 軌跡]
*[http://izumi-math.jp/F_Nakamura/toubun/toubun.pdf 角の二等分線の性質を狩る]
*{{高校数学の美しい物語|807|アポロニウスの円の証明と応用}}
*[http://math-info.criced.tsukuba.ac.jp/Forall/project/2000/Apollonius-fl/Apollonius-index.htm アポロニウスの接円問題の探究] - [[筑波大学]]数学教育研究室 代数・幾何・微積　For All プロジェクト

{{Elementary-geometry-stub}}
{{DEFAULTSORT:あほろにうすのえん}}
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:ペルガのアポロニウス]]
[[Category:数学に関する記事]]