アポロニウスの円

アポロニウスの円。AP:BPが一定になるようにPを動かすと軌跡は円を描く。

アポロニウスの円（アポロニウスのえん）は、2定点A・Bをとり、点PをAP:BPが一定となるように（但しAP≠BP）したときの点Pの軌跡である。ペルガのアポロニウスの名前を残すが、起源はより古いと思われる。例えば、既にアリストテレス『気象論』第三巻で虹の形状を論じるのに用いられている。

証明

初等幾何による証明

点PをAP:BPが一定となるようにしたときの点Pの軌跡のうち、線分ABの上の点をQ、ABの延長線上の点をRとすると、

AQ:QB=AP:PB

AR:RB=AP:PB

内角と外角の二等分線の関係の逆より、PQとPRはそれぞれ∠APBの内角と外角の二等分線である。 よって、∠QPR=90° ゆえに、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円である。

ベクトルによる証明（1）

m, n を互いに異なる正の実数とする。線分ABを m ： n に内分する点を Q、外分する点をRとすると、

$\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}=\frac{n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}+m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}}{n+m},\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{R}}=\frac{n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}}{n-m}.$

このとき、

$\mathrm{P}\mathrm{A}:\mathrm{P}\mathrm{B}=m:n.$

$\iff n|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}|=m|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}|.$

$\iff n^2|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}{|}^2=m^2|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}{|}^2.$

$\iff (n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}+m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}})\cdot (n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}})=0.$

$\iff \frac{n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}+m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}}{n+m}\cdot \frac{n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}}{n-m}=0.$

$\iff \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{R}}=0.$

$\iff \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}=\overrightarrow{0}\vee \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{R}}=\overrightarrow{0}\vee \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}\perp \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{R}}.$

$\iff \mathrm{P}=\mathrm{Q}\vee \mathrm{P}=\mathrm{R}\vee \mathrm{\angle }\mathrm{Q}\mathrm{P}\mathrm{R}=90^{\circ }.$

したがって、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円になる。

ベクトルによる証明（2）

線分QRの中点をOとすると、

$\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{Q}\mathrm{R}},\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{R}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{Q}\mathrm{R}}.$

したがって、

$\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{R}}=0.$

$\iff (\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{O}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{O}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{R}})=0.$

$\iff (\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{O}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{Q}\mathrm{R}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{O}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{Q}\mathrm{R}})=0.$

$\iff |\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{O}}{|}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2|\overrightarrow{\mathrm{Q}\mathrm{R}}{|}^2.$

$\iff \mathrm{P}\mathrm{O}=\frac{1}{2}\mathrm{Q}\mathrm{R}.$

これより、点Pの軌跡は線分QRの中点Oを中心とする半径 $\frac{1}{2}\mathrm{Q}\mathrm{R}$ の円、すなわち線分QRを直径とする円になる。

アポロニウスの円の中心

線分QRの中点をOとすると、点Oはアポロニウスの円の中心となり、

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{O}}& =\frac{\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}+\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{R}}}{2}\\ & =\frac{1}{2}(\frac{n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}+m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}}{n+m}+\frac{n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}}{n-m})\\ & =\frac{(n-m)(n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}+m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}})+(n+m)(n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}})}{2(n+m)(n-m)}\\ & =\frac{2n^2\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-2m^2\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}}{2(n^2-m^2)}\\ & =\frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-m^2\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}}{n^2-m^2}.\end{array}$

すなわち、点Oは線分ABを $m^2:n^2$ に外分する点になる。

アポロニウスの円の半径

アポロニウスの円の半径を r とする。ここで平方完成

$\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{Q}\mathrm{R}}& =\frac{\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}}{2}\\ & =\frac{1}{2}(\frac{n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}}{n-m}-\frac{n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}+m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}}{n+m})\\ & =\frac{(n+m)(n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}})-(n-m)(n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}+m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}})}{2(n+m)(n-m)}\\ & =\frac{2mn\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-2mn\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}}{2(n^2-m^2)}\\ & =\frac{mn(\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}})}{m^2-n^2}\\ & =\frac{mn}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}.\end{array}$

定義より、

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{R}}& =\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}\\ & =\frac{n\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-m\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}}{n-m}-\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}\\ & =\frac{m}{n-m}(\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}})\\ & =\frac{m}{m-n}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\\ \overrightarrow{\mathrm{Q}\mathrm{B}}& =\frac{n}{m+n}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\\ \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{O}}& =\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{O}}-\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}\\ & =\frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-m^2\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}}{n^2-m^2}-\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}\\ & =\frac{m^2}{n^2-m^2}(\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}})\\ & =\frac{m^2}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\\ \overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{O}}& =\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{O}}-\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}\\ & =\frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-m^2\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}}{n^2-m^2}-\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}\\ & =\frac{n^2}{n^2-m^2}(\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}})\\ & =\frac{n^2}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}.\end{array}$

したがって、

$r=\left|\frac{mn}{m^2-n^2}\right|\cdot \mathrm{A}\mathrm{B}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{R}\cdot \mathrm{Q}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\sqrt{\mathrm{O}\mathrm{A}\cdot \mathrm{O}\mathrm{B}}.$

アポロニウスの問題に対する解

アポロニウスの問題に対する解はアポロニウスの円とも呼ばれる。

外部リンク

• アポロニウスの円の中心について - 『数研通信』33号
• アポロニウスの円の中心と半径
• アポロニウスの円～定義を少し広げる試み～
• 高校数学で注意して欲しいこと　2. 軌跡
• 角の二等分線の性質を狩る
• テンプレート:高校数学の美しい物語
• アポロニウスの接円問題の探究 - 筑波大学数学教育研究室 代数・幾何・微積　For All プロジェクト