角の二等分線の定理

初等幾何学における角の二等分線の定理（かくの にとうぶんせんのていり、テンプレート:Lang-en-short）は、三角形の内角および外角の二等分線と線分の長さの比について述べた定理である。

内角における角の二等分線の定理

テンプレート:Math = テンプレート:Math ならば $BD:CD=AB:AC$ が成り立つ。

テンプレート:Math を考える。テンプレート:Math （内角）の二等分線が、辺テンプレート:Math上の点テンプレート:Mathで交わるとする。このとき、線分テンプレート:Mathの長さと、線分テンプレート:Mathの長さとの比は、辺テンプレート:Mathの長さと辺テンプレート:Mathの長さの比に等しい。すなわち

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$

である。この定理の逆、すなわち「テンプレート:Math の辺テンプレート:Math上の点テンプレート:Mathについて、線分テンプレート:Mathの長さと、線分テンプレート:Mathの長さとの比が、辺テンプレート:Mathの長さと辺テンプレート:Mathの長さの比に等しいならば、直線テンプレート:Mathはテンプレート:Math の二等分線である」も成り立つ。

この定理の一般化として、テンプレート:Mathが辺テンプレート:Math上の点ならば

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB\sin \mathrm{\angle }DAB}{AC\sin \mathrm{\angle }DAC}$

が成り立つ。

角の二等分線の定理は日本の数学教育では高等学校の数学Aの「図形の性質」で扱われるが、中学校の「図形の相似」単元の応用でも扱われる場合がある。

証明

内角における角の二等分線の定理の証明にはさまざまな方法が存在する。そのうちのいくつかを以下に示す。 以下、特に断りのない限り テンプレート:Mathでテンプレート:Math （内角）の二等分線と辺 テンプレート:Math の交点を点 テンプレート:Math とする。

相似な三角形を利用した証明 1

点 テンプレート:Math を通り、辺テンプレート:Mathに平行な直線と辺テンプレート:Mathの延長の交点を テンプレート:Math とする。 このとき、平行線の同位角から $\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }BEC,\mathrm{\angle }BDA=\mathrm{\angle }BCE$、共通の角より$\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }CBE$である。これらのうち2つから、$\mathrm{△}BAD\sim \mathrm{△}BCE$ となる。このことから、

$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{DC}$

（このことはテンプレート:仮リンクからも証明できる）

また、 $\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CAD$ かつ$AD\parallel CE$より$\mathrm{\angle }AEC=\mathrm{\angle }ACE$ だから、$AC=AE$ である。よって

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$

相似な三角形を利用した証明 2

図で、点 テンプレート:Mvar から直線 テンプレート:Mvar に下ろした垂線の足を テンプレート:Math とし、点 テンプレート:Mvar から直線 テンプレート:Mvar におろした垂線の足をテンプレート:Math とする。

テンプレート:Mathとテンプレート:Mathにおいて、

$\mathrm{\angle }BA{B}_1=\mathrm{\angle }CA{C}_1$ 、$\mathrm{\angle }A{B}_{1}B=\mathrm{\angle }A{C}_{1}C=90^{\circ }$であるから

$\mathrm{△}AB{B}_1\sim \mathrm{△}AC{C}_1$ である。

したがって、$\frac{AB}{AC}=\frac{B{B}_1}{C{C}_1}$ である。

さらに、$\mathrm{△}B{B}_{1}D\sim \mathrm{△}C{C}_{1}D$であるから

$\frac{B{B}_1}{C{C}_1}=\frac{BD}{CD}$

前の式と合わせて、

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

点 テンプレート:Mvar を、点 テンプレート:Mvar や点 テンプレート:Mvar と一致しない辺 テンプレート:Mvar 上の点とすると

$\frac{BD}{CD}=\frac{B{B}_1}{C{C}_1}=\frac{AB\sin \mathrm{\angle }BAD}{AC\sin \mathrm{\angle }CAD}$（一般化）

正弦定理を利用した証明

テンプレート:Math と テンプレート:Mathに正弦定理を用いることで、テンプレート:NumBlkテンプレート:NumBlkテンプレート:Math と テンプレート:Mathは補角（大きさの和が180度）だから、

$\sin \mathrm{\angle }ADB=\sin \mathrm{\angle }ADC$

$\mathrm{\angle }DAB=\mathrm{\angle }DAC$ だから、式(テンプレート:EquationNote)と(テンプレート:EquationNote)の右辺は等しい。したがって、

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$

辺テンプレート:Math上に点テンプレート:Mathがあるとき、その位置に関係なく、式(テンプレート:EquationNote)と(テンプレート:EquationNote)は次のように変形できる。

$\frac{AB}{BD}\sin \mathrm{\angle }DAB=\sin \mathrm{\angle }ADB$

$\frac{AC}{CD}\sin \mathrm{\angle }DAC=\sin \mathrm{\angle }ADC$

テンプレート:Math と テンプレート:Mathは補角だから、式(テンプレート:EquationNote)と(テンプレート:EquationNote)の右辺が等しいので

$\frac{AB}{BD}\sin \mathrm{\angle }DAB=\frac{AC}{CD}\sin \mathrm{\angle }DAC$、

すなわち$\frac{BD}{CD}=\frac{AB\sin \mathrm{\angle }DAB}{AC\sin \mathrm{\angle }DAC}$（この定理の一般化）を得る。

三角形の面積を利用した証明

$\alpha =\frac{\mathrm{\angle }BAC}{2}=\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CAD$

図で、テンプレート:Mathとテンプレート:Mathの面積比を調べる。

$\frac{\mathrm{△}ABD}{\mathrm{△}ACD}=\frac{\frac{1}{2}BDh}{\frac{1}{2}CDh}=\frac{BD}{CD}$および

$\frac{\mathrm{△}ABD}{\mathrm{△}ACD}=\frac{\frac{1}{2}ABAD\sin \alpha }{\frac{1}{2}ACAD\sin \alpha }=\frac{AB}{AC}$から

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$

外角における角の二等分線の定理

$\mathrm{\angle }\gamma =\mathrm{\angle }\delta \iff \frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}$

テンプレート:Math で、 テンプレート:Math であるとき、 外角テンプレート:Math の二等分線と辺 テンプレート:Math との交点を テンプレート:Math とすると

$\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{AC}$

が成り立つ（外角における角の二等分線定理）。これについても、逆が成り立つ。

証明

図のように、 テンプレート:Math である テンプレート:Math のとき、 外角テンプレート:Mathの二等分線と辺 テンプレート:Math との交点を テンプレート:Math、点 テンプレート:Math を通り辺ADに平行な直線と辺テンプレート:Mathとの交点を テンプレート:Math とし、辺 テンプレート:Math の延長上に点 テンプレート:Math をとる。 このとき、$AD\Vert EC$から $\mathrm{△}BAD\sim \mathrm{△}BEC$ であり

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AE}$

平行線の同位角から $\mathrm{\angle }AEC=\mathrm{\angle }FAD$ 、平行線の錯角から $\mathrm{\angle }ACE=\mathrm{\angle }CAD$ が成り立つ。したがって、$\mathrm{\angle }FAD=\mathrm{\angle }CAD$であるから、$\mathrm{\angle }AEC=\mathrm{\angle }ACE$となり、 $AC=AE$ が成り立つ。このことから、

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$

歴史

内角における角の二等分線の定理は、『ユークリッド原論』の第6巻の命題3として登場する。 テンプレート:Harvtxtによると、外角の二等分線についてのこれに対応する記述はロバート・シムソンによって与えられ、パップスは証明なしにこの結果を仮定したと指摘した。Heathは続けて、オーガスタス・ド・モルガンは2つの定理を次のように組み合わせる必要があると提案したと述べた。

If an angle of a triangle is bisected internally or externally by a straight line which cuts the opposite side or the opposite side produced, the segments of that side will have the same ratio as the other sides of the triangle; and, if a side of a triangle be divided internally or externally so that its segments have the same ratio as the other sides of the triangle, the straight line drawn from the point of section to the angular point which is opposite to the first mentioned side will bisect the interior or exterior angle at that angular point.

応用

この定理は、次のようなことがらの議論で使用される。

• 三角形の内心と線分の長さ / 三角形の内心の座標
• アポロニウスの円

参考文献

• G.W.I.S Amarasinghe: On the Standard Lengths of Angle Bisectors and the Angle Bisector Theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol 01(01), pp. 15 – 27, 2012

外部リンク

• A Property of Angle Bisectors at cut-the-knot
• Intro to angle bisector theorem at Khan Academy