アポロニウスの定理のソースを表示

[[File:Apollonius' theorem.svg|thumb|right|upright=1.0| green/blue areas = red area]]
[[File:Appolonius theorem.svg|thumb|upright=1.0|Pythagoras as a special case:<br/>green area = red area]]
[[幾何学]]における'''アポロニウスの定理'''（アポロニウスのていり）は、[[三角形]]の[[中線]]の長さと[[辺]]の長さに関係する[[定理]]である。「三角形の任意の二辺の平方和は第三辺の半分の平方の2倍と第三辺を二分する中線の2倍の和に等しい」という。

すなわち、任意の三角形を<math>ABC</math>として、中線を<math>AD</math>とすると
<math display="block">|AB|^2 + |AC|^2 = 2 \left(|AD|^2+|BD|^2\right).</math>

この定理は[[スチュワートの定理]]の[[一般と特殊 (数学)|特殊な場合]]である。<math>|AB| = |AC|</math>の[[二等辺三角形]]ならば、中線<math>AD</math>は<math>BC</math>と[[垂直]]となり、三角形<math>ADB</math>（または三角形 <math>ADC</math>）における[[ピタゴラスの定理]]と一致する。また、[[平行四辺形]]の[[対角線]]が互いに二分するという事実から、[[中線定理|平行四辺形の法則]]とも[[同値]]である。

この定理は古代ギリシャの数学者[[ペルガのアポロニウス]]にちなんで名付けられた。
== 証明 ==
[[File:ApolloniusTheoremProof.svg|thumb|アポロニウスの定理の証明]]
スチュワートの定理の特殊な場合として、あるいはベクトルを用いて証明することができる。以下の証明は[[余弦定理]]を用いたものである<ref>{{cite book |title=Modern Geometry|first1=Charles|last1=Godfrey|first2=Arthur Warry|last2=Siddons
|publisher=University Press|year=1908
|url=https://archive.org/details/bub_gb_LGsLAAAAYAAJ|page=[https://archive.org/details/bub_gb_LGsLAAAAYAAJ/page/n36 20]}}</ref>。

任意の三角形の三辺の長さを<math>a, b, c</math>として、<math>a</math>の中線の長さを<math>d</math>とする。また、中線に二分された線分の長さを<math>m</math>とする（<math>m</math>は<math>a</math>の半分）。

さらに、<math>a</math>と<math>d</math>による角の大きさを<math>\theta</math>と<math>\theta^{\prime}</math>とし、<math>\theta</math>は<math>b</math>の対角、<math>\theta^{\prime}</math>は<math>c</math>の対角とする。すなわち、<math>\theta^{\prime}</math>は<math>\theta</math>の補角であり、 <math>\cos \theta^{\prime} = - \cos \theta</math>となる。

このとき、余弦定理より、
<math display="block">\begin{align}
b^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta' \\
&= m^2 + d^2 + 2dm\cos\theta\, \end{align}
</math>

第一式と第三式の辺々を加えると
<math display="block">b^2 + c^2 = 2(m^2 + d^2)</math>

以上より、定理が証明された。
== 脚注 ==
{{reflist}}
== 外部リンク ==
* [https://www.academia.edu/38953628/Proofs_of_Apollonius_Theorem_2_D_Geometry_by_HCR_ Three Proofs of Apollonius Theorem by HC Rajpoot] from [[Academia.edu]]

* {{PlanetMath|title=Apollonius Theorem|urlname=ApolloniusTheorem}}
* David B. Surowski: [https://www.math.ksu.edu/~dbski/writings/further.pdf ''Advanced High-School Mathematics'']. p. 27

{{デフォルトソート:あほろにうすのていり}}
[[Category:ペルガのアポロニウス]]
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[[Category:証明を含む記事]]
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