アポロニウス点のソースを表示


[[ユークリッド幾何学]]において、 '''アポロニウス点'''（アポロニウスてん、[[英語|英]]:Apollonius point）は[[クラーク・キンバリング]]の [[Encyclopedia of Triangle Centers]]で''X''(181)として登録されている[[三角形の中心|三角形の心]]である<ref>{{Cite web |title=Apollonius Point |url=https://mathworld.wolfram.com/ApolloniusPoint.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-29 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。 3つの[[三角形の内接円と傍接円|傍接円]]に外接する円と、傍接円の[[接点 (数学)|接点]]の成す[[三角形]]と元の三角形の[[配景]]として定義される<ref name=":0">{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part1 |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-04-28}}</ref>。

文献によっては[[等力点]]に対してアポロニウス点の名を使用する場合もある<ref>{{Cite journal|last=Katarzyna Wilczek|year=2010|title=The harmonic center of a trilateral and the Apollonius point of a triangle|journal=Journal of Mathematics and Applications|volume=32|pages=95–101}}</ref>。これは、等力点の性質に[[アポロニウスの円]]が関係することに由来する。

[[アポロニウスの問題]]の解は何世紀も前から知られていたが、1987年に初めて、アポロニウス点の指摘がなされた<ref name="evansville">{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Apollonius Point |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/apollon.html |access-date=16 May 2012 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120510142037/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/apollon.html |archive-date=10 May 2012}}</ref><ref>{{Cite journal|last=C. Kimberling|last2=Shiko Iwata|last3=Hidetosi Fukagawa|year=1987|title=Problem 1091 and Solution|journal=[[Crux Mathematicorum]]|volume=13|pages=217–218}}</ref>。

== 定義 ==
[[ファイル:Apollonius_point.svg|サムネイル|298x298ピクセル|
{{Legend-line|solid #333333|{{math|△''ABC''}}の辺の延長}}
{{Legend-line|solid blue|傍接円{{mvar|E{{sub|A}}, E{{sub|B}}, E{{sub|C}}}}}}
{{Legend-line|solid green|{{math|△''ABC''}}のアポロニウス円}}
{{Legend-line|solid red|{{mvar|AA', BB', CC'}}の交点'''アポロニウス点'''}}]]
アポロニウス点の定義は以下のとおりである。

: {{Math|△''ABC''}} について、{{Mvar|A, B, C}}の傍接円をそれぞれ{{Mvar|E{{sub|A}}, E{{sub|B}}, E{{sub|C}}}}とする。また、{{Mvar|E}} を {{Mvar|E{{sub|A}}, E{{sub|B}}, E{{sub|C}}}} に内接する円として定義する。{{Mvar|E}}と{{Mvar|E{{sub|A}}, E{{sub|B}}, E{{sub|C}}}}の接点をそれぞれ{{Mvar|A', B', C'}} として
: {{Mvar|AA', BB', CC'}} は[[共点]]である。この点を{{Math|△''ABC''}}のアポロニウス点という。

アポロニウスの問題とは、3円に接する円の構成に関する問題である。一般的に、3つの円に接する円は最大8つ存在する。3つの傍接円の場合は、[[九点円]]や三角形の3辺が解の一つとなる。[[Encyclopedia of Triangle Centers]]の中で{{Mvar|E}}は'''アポロニウス円'''（Apollonius circle）と呼ばれている。

アポロニウス円の半径は<math>\frac{r^2+s^2}{4r}</math>である<ref>{{Cite web |title=Apollonius Circle |url=https://mathworld.wolfram.com/ApolloniusCircle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-29 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。ただし{{Mvar|r,s}}はそれぞれ[[三角形の内接円と傍接円|内接円]]の半径、[[半周長]]である。

== 三線座標 ==
アポロニウス点の三線座標は以下の式で与えられる<ref name="evansville" />。

<math>\begin{array}{ccccc}
  & \displaystyle \frac{a(b+c)^2}{b+c-a} &:& \displaystyle \frac{b(c+a)^2}{c+a-b} &:& \displaystyle \frac{c(a+b)^2}{a+b-c} \\[4pt]
=& \sin^2 \! A \, \cos^2 \frac{B-C}{2} &:& \sin^2 \! B \, \cos^2 \frac{C-A}{2} &:& \sin^2 \! C \, \cos^2 \frac{A-B}{2}
\end{array}</math>

== 証明 ==
{{Mvar|A',J}}をそれぞれ、{{Mvar|A}}の傍接円とアポロニウス円、内接円とアポロニウス円の外側の相似中心とすると、頂点{{Mvar|A}}は内接円と{{Mvar|A}}の傍接円の外側の相似中心なので、[[モンジュの定理]]より{{Mvar|A,A',J}}は[[共線]]である。傍接円とアポロニウス円は接しているので、{{Mvar|A'}}はその接点である。同様にして、{{Mvar|B,B',J}}と{{Mvar|C,C',J}}の共線も分かり、{{Mvar|AA', BB', CC'}}は内接円とアポロニウス円の外側の相似中心{{Mvar|J}}、つまりアポロニウス点で交わる<ref name=":0" />。

== 関連する図形 ==
=== アポロニウス三角形 ===
アポロニウス円と傍接円の接点が成す三角形はアポロニウス三角形（Apollonius triangle）と呼ばれる。

アポロニウス円の中心はEncyclopedia of Triangle CentersではX(970)にあたる<ref name=":0" />。X(970)は[[中心線 (幾何学)#ブロカール軸|ブロカール軸]]上に位置する。九点円とアポロニウス円の内側の相似中心は[[シュピーカー点|シュピーカー中心]]である。したがって九点円の中心、シュピーカー中心、X(970)は共線である。X(970)の[[三線座標]]は以下の式で与えられる。<math display="block">(r^2 - s^2) \cos A + 2rs \sin A:(r^2 - s^2) \cos B + 2rs \sin B:(r^2 - s^2) \cos C + 2rs \sin C</math>

内接円とアポロニウス円の内側の相似中心は、X(1682)にあたる。三線座標は以下の式で与えられる<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part2　X(1682) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart2.html#X1682 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-04-28}}</ref>。<math display="block">\frac{(b+c-a)}{(b^2+c^2+ab+ac)^2}:\frac{(c+a-b)}{(c^2+a^2+bc+ba)^2}:\frac{(a+b-c)}{(a^2+b^2+ca+cb)^2}</math>

=== ジェンキンス円とオデーナル点 ===
[[ファイル:Odehnal point.png|サムネイル|318x318ピクセル|{{Mvar|△ABC}}（茶）、[[三角形の内接円と傍接円|傍心]]（{{Mvar|J<sub>A</sub>,J<sub>B</sub>,J<sub>C</sub>}}）、傍接円と辺の接点（赤）、[[シュピーカー点|シュピーカー中心]]（{{Math|''X''{{sub|10}}}}）、ジェンキンス円（青）、対応するジェンキンス円と傍接円の接点（{{Mvar|K<sub>a</sub>,K<sub>b</sub>,K<sub>c</sub>}}）、{{Mvar|AK<sub>a</sub>,BK<sub>b</sub>,CK<sub>c</sub>}}の交点（{{Math|''X''{{sub|3956}}}}）、ジェンキンス円の中心と頂点を結ぶ直線の交点（{{Math|''X''{{sub|3957}}}}）]]
3つの傍接円におけるアポロニウスの問題の解は、アポロニウス円、九点円、3辺の他に3つの'''ジェンキンス円'''（Jenkins circles）が知られている。

{{Math|△''ABC''}}について、{{Mvar|A,B,C}}傍接円と{{Mvar|BC,CA,AB}}との接点を{{Mvar|D,E,F}}とする。また、シュピーカー中心{{Math|''X''{{sub|10}}}}とそれぞれ{{Mvar|D,E,F}}を通る直線と、{{Mvar|A,B,C}}傍接円の、{{Mvar|D,E,F}}でない方の交点を{{Mvar|K<sub>a</sub>,K<sub>b</sub>,K<sub>c</sub>}}とする。{{Mvar|AK<sub>a</sub>,BK<sub>b</sub>,CK<sub>c</sub>}}は一点で交わる。この点を'''第一オデーナル点'''（1st Odehnal point）という（Odehnalはオデフナルとも）。それぞれ{{Mvar|K<sub>a</sub>,K<sub>b</sub>,K<sub>c</sub>}}で{{Mvar|A,B,C}}傍接円に[[接線#相接する円|内接]]し、他の2つの傍接円に[[接線#相接する円|外接]]する円はシュピーカー中心を通る。これらの円を'''ジェンキンス円'''と言う<ref>{{Cite web |title=Extended glossary |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ext_glossary.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-05-16}}</ref>。また、ジェンキンス円の中心と{{Mvar|A,B,C}}を結んだ線は[[共点]]である。この点を'''第二オデーナル点'''（2nd Odehnal point）という。

オデーナル点は[[Encyclopedia of Triangle Centers]]においてそれぞれ{{Math|''X''{{sub|3956}}, ''X''{{sub|3957}}}}として登録されている[[三角形の中心]]である<ref name=":0" /><ref>{{Cite web |title=DGGS - Elementary Geometry |url=https://www.geometrie.tuwien.ac.at/fg3/archive/elementary.html |website=www.geometrie.tuwien.ac.at |access-date=2024-05-12}}</ref><ref name=":2">{{Cite web |title=三角形の心 |url=http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html |website=taurus.ics.nara-wu.ac.jp |access-date=2024-05-13}}</ref>。[[ボリス・オデーナル]]（Boris Odehnal）によって発見された<ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201006.pdf |title=Some Triangle Centers Associated with the Circles  Tangent to the Excircles |access-date=2024/5/12 |publisher=[[Forum Geometricorum]]}}</ref>。
==== 性質 ====
* {{Mvar|K<sub>a</sub>,K<sub>b</sub>,K<sub>c</sub>}}のなす三角形はJenkins-contact triangleと呼ばれる<ref>{{Cite web |title=Index of triangles |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/IndexOfTrianglesReferencedInETC.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-05-16}}</ref>。
* ジェンキンス円の中心が成す三角形は1st Jenkins triangleと呼ばれる。
第一オデーナル点の性質
* 第一オデーナル点は、[[外接円]]と[[三角形の内接円と傍接円|内接円]]の外相似点[[混線内接円#三つの混線内接円のあいだに成り立つ関係|{{Math|''X''{{sub|56}}}}]]の[[等長共役|等長共役点]]である。
* 九点円の中心、アポロニウス点、第一オデーナル点は[[共線]]である。
* [[ナーゲル点]]、[[ジェルゴンヌ点|接触三角形]]の[[垂心]]の等長共役、第一オデーナル点は共線である。
* [[内接円|内心]]の等長共役点、シュピーカー中心、第一オデーナル点は共線である。
*第一オデーナル点{{Math|''X''{{sub|3956}}}}は[[三線座標]]で以下の式で表される<ref name=":0" />。

<math display="block">b^3c^3(b+c-a):c^3a^3(c+a-b):a^3b^3(a+b-c)</math>

第二オデーナル点の性質
* [[幾何中心|重心]]とアポロニウス円の中心と第二オデーナル点は共線である。
* アポロニウス三角形と[[類似重心]]の[[チェビアン#チェバ三角形|チェバ三角形]]の[[配景]]の中心{{Math|''X''{{sub|2092}}}}、垂心、第二オデーナル点は共線である。
* 3つの傍接円の根円（中心は[[根心]]{{Math|''X''{{sub|10}}}}）と{{Mvar|BC}}の交点を{{Mvar|P,Q}}、{{Math|△''PQX''{{sub|10}}}}の外心を{{Mvar|A'}}とする。同様に{{Mvar|B',C'}}を定義する。{{Mvar|AA',BB',CC'}}は第二オデーナル点で交わる。
第ニオデーナル点{{Math|''X''{{sub|3957}}}}は三線座標で以下の式で表される。

<math display="block">f(a,b,c)=\frac{bc}{a^5+a^4(b+c)-a^3(b-c)^2-a^2(b + c)(b^2 + c^2)-2abc(b^2+ bc+c^2)-2b^2c^2(b+c)}</math>

として

<math display="block">f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)</math>

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>
== 関連 ==

* [[アポロニウスの定理]]
* [[ペルガのアポロニウス]]
* [[アポロニウスの問題]]
* [[アポロニウスの円束]]
* [[等力点]]
{{デフォルトソート:あほろにうすてん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:ペルガのアポロニウス]]
[[Category:証明を含む記事]]
[[Category:三角形の中心]]