アポロニウス点

ユークリッド幾何学において、 アポロニウス点（アポロニウスてん、英:Apollonius point）はクラーク・キンバリングの Encyclopedia of Triangle CentersでX(181)として登録されている三角形の心である。 3つの傍接円に外接する円と、傍接円の接点の成す三角形と元の三角形の配景として定義される。

文献によっては等力点に対してアポロニウス点の名を使用する場合もある。これは、等力点の性質にアポロニウスの円が関係することに由来する。

アポロニウスの問題の解は何世紀も前から知られていたが、1987年に初めて、アポロニウス点の指摘がなされた。

定義

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アポロニウス点の定義は以下のとおりである。

テンプレート:Math について、テンプレート:Mvarの傍接円をそれぞれテンプレート:Mvarとする。また、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar に内接する円として定義する。テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの接点をそれぞれテンプレート:Mvar として

テンプレート:Mvar は共点である。この点をテンプレート:Mathのアポロニウス点という。

アポロニウスの問題とは、3円に接する円の構成に関する問題である。一般的に、3つの円に接する円は最大8つ存在する。3つの傍接円の場合は、九点円や三角形の3辺が解の一つとなる。Encyclopedia of Triangle Centersの中でテンプレート:Mvarはアポロニウス円（Apollonius circle）と呼ばれている。

アポロニウス円の半径は$\frac{r^2+s^2}{4r}$である。ただしテンプレート:Mvarはそれぞれ内接円の半径、半周長である。

三線座標

アポロニウス点の三線座標は以下の式で与えられる。

$\begin{array}{cccccc}& \frac{a(b+c{)}^2}{b+c-a}& :& \frac{b(c+a{)}^2}{c+a-b}& :& \frac{c(a+b{)}^2}{a+b-c}\\ =& {\sin }^{2}A{\cos }^2\frac{B-C}{2}& :& {\sin }^{2}B{\cos }^2\frac{C-A}{2}& :& {\sin }^{2}C{\cos }^2\frac{A-B}{2}\end{array}$

証明

テンプレート:Mvarをそれぞれ、テンプレート:Mvarの傍接円とアポロニウス円、内接円とアポロニウス円の外側の相似中心とすると、頂点テンプレート:Mvarは内接円とテンプレート:Mvarの傍接円の外側の相似中心なので、モンジュの定理よりテンプレート:Mvarは共線である。傍接円とアポロニウス円は接しているので、テンプレート:Mvarはその接点である。同様にして、テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの共線も分かり、テンプレート:Mvarは内接円とアポロニウス円の外側の相似中心テンプレート:Mvar、つまりアポロニウス点で交わる。

関連する図形

アポロニウス三角形

アポロニウス円と傍接円の接点が成す三角形はアポロニウス三角形（Apollonius triangle）と呼ばれる。

アポロニウス円の中心はEncyclopedia of Triangle CentersではX(970)にあたる。X(970)はブロカール軸上に位置する。九点円とアポロニウス円の内側の相似中心はシュピーカー中心である。したがって九点円の中心、シュピーカー中心、X(970)は共線である。X(970)の三線座標は以下の式で与えられる。$$(r^2-s^2)\cos A+2rs\sin A:(r^2-s^2)\cos B+2rs\sin B:(r^2-s^2)\cos C+2rs\sin C$$

内接円とアポロニウス円の内側の相似中心は、X(1682)にあたる。三線座標は以下の式で与えられる。$$\frac{(b+c-a)}{(b^2+c^2+ab+ac{)}^2}:\frac{(c+a-b)}{(c^2+a^2+bc+ba{)}^2}:\frac{(a+b-c)}{(a^2+b^2+ca+cb{)}^2}$$

ジェンキンス円とオデーナル点

テンプレート:Mvar（茶）、傍心（テンプレート:Mvar）、傍接円と辺の接点（赤）、シュピーカー中心（テンプレート:Math）、ジェンキンス円（青）、対応するジェンキンス円と傍接円の接点（テンプレート:Mvar）、テンプレート:Mvarの交点（テンプレート:Math）、ジェンキンス円の中心と頂点を結ぶ直線の交点（テンプレート:Math）

3つの傍接円におけるアポロニウスの問題の解は、アポロニウス円、九点円、3辺の他に3つのジェンキンス円（Jenkins circles）が知られている。

テンプレート:Mathについて、テンプレート:Mvar傍接円とテンプレート:Mvarとの接点をテンプレート:Mvarとする。また、シュピーカー中心テンプレート:Mathとそれぞれテンプレート:Mvarを通る直線と、テンプレート:Mvar傍接円の、テンプレート:Mvarでない方の交点をテンプレート:Mvarとする。テンプレート:Mvarは一点で交わる。この点を第一オデーナル点（1st Odehnal point）という（Odehnalはオデフナルとも）。それぞれテンプレート:Mvarでテンプレート:Mvar傍接円に内接し、他の2つの傍接円に外接する円はシュピーカー中心を通る。これらの円をジェンキンス円と言う。また、ジェンキンス円の中心とテンプレート:Mvarを結んだ線は共点である。この点を第二オデーナル点（2nd Odehnal point）という。

オデーナル点はEncyclopedia of Triangle Centersにおいてそれぞれテンプレート:Mathとして登録されている三角形の中心である。ボリス・オデーナル（Boris Odehnal）によって発見された。

性質

• テンプレート:Mvarのなす三角形はJenkins-contact triangleと呼ばれる。
• ジェンキンス円の中心が成す三角形は1st Jenkins triangleと呼ばれる。

第一オデーナル点の性質

• 第一オデーナル点は、外接円と内接円の外相似点[[混線内接円#三つの混線内接円のあいだに成り立つ関係|テンプレート:Math]]の等長共役点である。
• 九点円の中心、アポロニウス点、第一オデーナル点は共線である。
• ナーゲル点、接触三角形の垂心の等長共役、第一オデーナル点は共線である。
• 内心の等長共役点、シュピーカー中心、第一オデーナル点は共線である。
• 第一オデーナル点テンプレート:Mathは三線座標で以下の式で表される。

$$b^3{c}^3(b+c-a):c^3{a}^3(c+a-b):a^3{b}^3(a+b-c)$$

第二オデーナル点の性質

• 重心とアポロニウス円の中心と第二オデーナル点は共線である。
• アポロニウス三角形と類似重心のチェバ三角形の配景の中心テンプレート:Math、垂心、第二オデーナル点は共線である。
• 3つの傍接円の根円（中心は根心テンプレート:Math）とテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mathの外心をテンプレート:Mvarとする。同様にテンプレート:Mvarを定義する。テンプレート:Mvarは第二オデーナル点で交わる。

第ニオデーナル点テンプレート:Mathは三線座標で以下の式で表される。

$$f(a,b,c)=\frac{bc}{a^5+a^4(b+c)-a^3(b-c{)}^2-a^2(b+c)(b^2+c^2)-2abc(b^2+bc+c^2)-2b^2{c}^2(b+c)}$$

として

$$f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$$

関連

• アポロニウスの定理
• ペルガのアポロニウス
• アポロニウスの問題
• アポロニウスの円束
• 等力点