中心線 (幾何学)

幾何学において, テンプレート:訳語疑問点範囲（ちゅうしんせん、テンプレート:Lang-en-short）とは三角形に対して一意に決まる直線の総称である。中心線はほとんどの場合、三線座標によってあらわすことができる。中心線は三角形の中心とも密接にかかわっている。中心線の概要は1994年のテンプレート:仮リンクの論文でまとめられた。

定義

テンプレート:Math に対する三線座標テンプレート:Mathを用いて、平面上の直線は以下の様に書ける。 $$f(a,b,c)x+g(a,b,c)y+h(a,b,c)z=0$$ ここで三線座標 $$f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)$$ は三角形の中心である。

三線極線

三角形の中心と中心線の幾何的な結び付けの一つに三線極線（trilinear polars）と等角共役がある。

三線座標で$X=u(a,b,c):v(a,b,c):w(a,b,c)$ とし $$\frac{x}{u(a,b,c)}+\frac{y}{v(a,b,c)}+\frac{z}{w(a,b,c)}=0$$ の表す直線はテンプレート:Mvarの三線極線と呼ばれる。 $$Y=\frac{1}{u(a,b,c)}:\frac{1}{v(a,b,c)}:\frac{1}{w(a,b,c)}$$ の表す点はテンプレート:Mvarの等角共役点と呼ばれる。

したがって、次の式で与えられる中心線は点$f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)$の等角共役点の三線極線である。 $$f(a,b,c)x+g(a,b,c)y+h(a,b,c)z=0$$

中心線の作図

テンプレート:Mathと点テンプレート:Mvarについて、中心線は以下の様に定義される。

• テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarの等角共役点とする。テンプレート:Mvarは直線 テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvarの角の二等分線で鏡映した線(等角共役線)である。
• テンプレート:Mathと点テンプレート:Mvarに対するチェバ線テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点テンプレート:Mvarでチェバ三角形テンプレート:Mathを作る。
• テンプレート:Mathとテンプレート:Mathはテンプレート:Mvarを中心とし配景なのでデザルグの定理が成り立つ。
• この配景の軸テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarの三線極線、テンプレート:Mvarの中心線と言う。

著名な中心線

クラーク・キンバーリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」における点テンプレート:Mvarに対する中心線はテンプレート:Mvarと表記される。

テンプレート:Math とその傍心三角形の配景の軸、反垂軸

内心の中心線:反垂軸

内心 テンプレート:Math (またはテンプレート:Mvar )の中心線は、反垂軸（Antiorthic axis）と呼ばれ、以下の式で表される。 $$x+y+z=0.$$

• テンプレート:Mathの内心の等角共役点は内心自身である。したがって、テンプレート:Mathとその内心三角形（incentral triangle、内心のチェバ三角形）の配景の軸は反垂軸である。
• 反垂軸はテンプレート:Math と傍心三角形テンプレート:Mathの配景の軸である。
• テンプレート:Mathの傍接円のテンプレート:Mathの辺でない共通接線の成す三角形は外接線三角形（extangents triangle）と呼ばれる。 テンプレート:Mathと外接線三角形の配景の軸は反垂軸である。

重心の中心線:ルモワーヌ軸

テンプレート:Mathの重心テンプレート:Math（またはテンプレート:Math）の三線座標は以下の様に与えられる。 $$\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$$ 重心の中心線は以下の式で表される。 $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0.$$ この直線はルモワーヌ軸、ルモワーヌ線（Lemoine axis, Lemoine line）と呼ばれる。

• テンプレート:Mathの等角共役点である類似重心テンプレート:Math（またはテンプレート:Mvar）の三線座標はテンプレート:Mathである。ルモワーヌ軸は類似重心の三線極線である。
• テンプレート:Mathの頂点の外接円に対する接線の成す三角形を接線三角形テンプレート:Mathという。 テンプレート:Math と外接三角形の配景の軸はルモワーヌ軸である。

外心の中心線:垂軸

外心テンプレート:Math（またはテンプレート:Mvar）の三線座標は以下の様に与えられる。 $$\cos A:\cos B:\cos C$$ 外心の中心線は以下の式で表される。 $$x\cos A+y\cos B+z\cos C=0.$$ この直線を垂軸（Orthic axis）という。

• 外心テンプレート:Mathの等角共役点は垂心テンプレート:Math（またはテンプレート:Mvar）の三線座標はテンプレート:Mathである。垂心の三線極線は垂軸で、これはオイラー線と垂直に交わる。テンプレート:Mathと垂足三角形テンプレート:Mathの配景の軸は垂軸である。

垂心の中心線

垂心 テンプレート:Math（またはテンプレート:Mvar）の三線座標は以下の様に与えられる。 $$\sec A:\sec B:\sec C$$ 垂心の中心線は以下の式で表される。 $$x\sec A+y\sec B+z\sec C=0.$$

• 外心の三線極線は垂心の中心線である。

九点円の中心の中心線

九点円の中心テンプレート:Math（またはテンプレート:Math）の三線座標は以下の式で与えられる。 $$\cos (B-C):\cos (C-A):\cos (A-B).$$ テンプレート:Mathの中心線は以下の式で表される。 $$x\cos (B-C)+y\cos (C-A)+z\cos (A-B)=0.$$

• テンプレート:Mathの等角共役点はコスニタ点テンプレート:Mathである。したがってコスニタ点の三線極線はテンプレート:Mathの中心線である。

類似重心の中心線: 無限遠直線

類似重心 テンプレート:Math（または テンプレート:Mvar）の三線座標は以下の式で与えられる。 $$a:b:c$$ 類似重心の中心線は以下の式で表される。 $$ax+by+cz=0.$$

• この直線はテンプレート:Mathの無限遠直線（line at infinity）と呼ばれる。
• 類似重心の等角共役点は重心である。したがって重心の三線極線はテンプレート:Mathの無限遠線である。 テンプレート:Mathとその中点三角形の配景の軸は無限遠線である。

その他の有名な中心線

オイラー線

テンプレート:Mathのオイラー線とは重心、外心、垂心、九円点の中心などを通る直線である。オイラー線の三線座標は以下の式で与えられる。 $$x\sin 2A\sin (B-C)+y\sin 2B\sin (C-A)+z\sin 2C\sin (A-B)=0.$$ これはテンプレート:Mathの中心線である。

ナーゲル線

テンプレート:Mathのナーゲル線（Nagel line）とは内心、重心、シュピーカー中心、ナーゲル点などを通る直線である。ナーゲル線の三線座標は以下の式で与えられる。 $$xa(b-c)+yb(c-a)+zc(a-b)=0.$$ これはテンプレート:Mathの中心線である。

ブロカール軸

テンプレート:Mathのブロカール軸（Brocard axis）とは外心と類似重心、ブロカール円の中心などを通る直線である。ブロカール軸の三線座標は以下の式で与えられる。 $$x\sin (B-C)+y\sin (C-A)+z\sin (A-B)=0.$$ これはテンプレート:Mathの中心線である。

関連項目

• 三角形の中心
• 三線極線
• テンプレート:仮リンク
• 三角形の二次曲線
• 三角形の三次曲線
• 近代三角形幾何学