三次曲線

数学において、三次曲線（さんじきょくせん、テンプレート:Lang-en-short）、特にユークリッド幾何学における平面三次曲線（テンプレート:Lang-en-short）は以下のような三次方程式によって定義される代数曲線である。

F (x, y, z) = 0

ここで $(x : y : z)$ は射影平面上の斉次座標、またはアフィン空間の非斉次座標でテンプレート:Mathとした座標で、テンプレート:Mvarは三次の斉次多項式、すなわち以下のような0でない三次単項式の線形結合とする。

x^{3}, y^{3}, z^{3}, x^{2} y, x^{2} z, y^{2} x, y^{2} z, z^{2} x, z^{2} y, x y z

これら10個の項から成ることより、三次曲線は任意の可換体テンプレート:Mvar上で9次元の射影空間を成す。また三次曲線テンプレート:Mvarを満たす1点テンプレート:Mvarは1つの線形条件を課す。したがって9つの点を通る三次曲線はただ一つに決定される。 5つの点で決定する円錐曲線と比較してみると、2つの三次曲線が9つの点を通るならば、それらは束を成し、さらなる性質を持つこととなる（ケイリー＝バッハラッハの定理）。

三次曲線には特異点を持つものもあり、射影直線におけるパラメトリック方程式となる。一方、特異点を持たない三次曲線は複素数のような代数的閉体上に9つの変曲点を持つテンプレート:Sfn。これは、三次曲線を再定義するヘッセ行列の同次座標をテンプレート:Mvarと掛け合わせることにより示すことができる（ベズーの定理）。しかし、これらの点のうちは実射影平面上にあるのは3点だけでありテンプレート:Sfn、他の点は実射影平面上で曲線を描いても見ることはできない。特異点を持たない三次曲線の9つの変曲点は、そのうちの2つを通るすべての直線がちょうど3つの変曲点を含むという性質を持っている。

実射影平面上にある変曲点はニュートンによって研究され、非特異な三次曲線の実点が1つか2つの「オーバル」を通ることが発見された。これらのオーバルのうちの1つは、すべて射影直線を横切るので、ユークリッド平面に描いたときには見ることができず、3つの実変曲点を含む、1本または3本の無限の分岐として現れる。もう1つのオーバルは、存在するとしても変曲点を含まず、オーバルか2つの無限の分岐のように見える。円錐曲線の断面の様に直線はオーバルを最大2点で切断する。

非特異な三次曲線はテンプレート:Mvar上の楕円曲線でもある。楕円曲線は普通、ワイエルシュトラスの楕円関数を変形したもので研究されており、三次関数の平方根で作られた有理関数上で定義されている。これはワイエルシュトラス標準形の無限遠点としてはたらくテンプレート:Mvar-有理点に依存する。テンプレート:Mvarが有理数体のとき多くの三次曲線はそのような点を持たない。

尖点や二重点など、特異的な三次曲線の特異点は限られている。そのような3次曲線は、2次曲線と直線、または3つの直線に退化する。したがって2次曲線と直線の場合は、2つのニ重点またはテンプレート:仮リンク、3つの直線の場合はまたは3つのニ重点か1つの三重点（共点）を持つ。

三角形の三次曲線

テンプレート:Mathの辺について $a = | B C |,$ $b = | C A |,$ $c = | A B |$ とする。テンプレート:Mathの有名な三次曲線は様々な三角形の中心を通る。以下は斉次座標である三線座標と重心座標を用いる。

三線座標から重心座標への変換は以下の様に行われれる。

x \to b c x, y \to c a y, z \to a b z;

重心座標から三線座標への変換は以下の様に行われれる。

x \to a x, y \to b y, z \to c z .

三次曲線の多くは以下の形式で表される。

f (a, b, c, x, y, z) + f (b, c, a, y, z, x) + f (c, a, b, z, x, y) = 0 .

この式は下記のような上の式を略した表記を用いることもある。

\sum_{cyclic} f (x, y, z, a, b, c) = 0

.

またテンプレート:Mvarの等角共役点をテンプレート:Mvarとする。このとき三線座標において $X = x : y : z$ ならば $X^{*} = \frac{1}{x} : \frac{1}{y} : \frac{1}{z}$ が成り立つ。

ノイベルグ三次曲線

テンプレート:詳細記事

三線座標: $\sum_{cyclic} (\cos A - 2 \cos B \cos C) x (y^{2} - z^{2}) = 0$

重心座標: $\sum_{cyclic} (a^{2} (b^{2} + c^{2}) + (b^{2} - c^{2})^{2} - 2 a^{4}) x (c^{2} y^{2} - b^{2} z^{2}) = 0$

ノイベルグ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、フェルマー点、等力点、オイラー無限遠点などを通る。

Cubics in the Triangle PlaneではK001と登録されている。

17点三次曲線（Thomson Cubic）

テンプレート:詳細記事

三線座標: $\sum_{cyclic} b c x (y^{2} - z^{2}) = 0$

重心座標: $\sum_{cyclic} x (c^{2} y^{2} - b^{2} z^{2}) = 0$

17点三次曲線はテンプレート:Mvarが直線テンプレート:Mvar（テンプレート:Mvarは重心）上にあるような点テンプレート:Mvarの軌跡である。

17点三次曲線は頂点、内心と傍心、重心、外心、垂心、類似重心、辺の中点などを通る。

Cubics in the Triangle PlaneではK002 として登録されている。

ダルブー三次曲線

テンプレート:詳細記事

三線座標: $\sum_{cyclic} (\cos A - \cos B \cos C) x (y^{2} - z^{2}) = 0$

重心座標: $\sum_{cyclic} (2 a^{2} (b^{2} + c^{2}) + (b^{2} - c^{2})^{2} - 3 a^{4}) x (c^{2} y^{2} - b^{2} z^{2}) = 0$

ダルブー三次曲線（Darboux Cubic）はテンプレート:Mvarが直線テンプレート:Mvar上（テンプレート:Mvarはド・ロンシャン点）にあるような点テンプレート:Mvarの軌跡である。ダルブー三次曲線上のテンプレート:Mvarの垂足三角形はチェバ三角形で、チェバ三角形の元の点はリュカ三次曲線を成す。また、テンプレート:Mvar の垂足三角形はテンプレート:Mvarの反チェバ三角形と配景的で、その配景の中心はトムソン三次曲線を成す。

ダルブー三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ドロンシャン点、頂点の外接円に対する対蹠点などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは、K004 として登録されている。

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線

三線座標: $\sum_{cyclic} \cos (B - C) x (y^{2} - z^{2}) = 0$

重心座標: $\sum_{cyclic} (a^{2} (b^{2} + c^{2}) + (b^{2} - c^{2})^{2}) x (c^{2} y^{2} - b^{2} z^{2}) = 0$

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線（Napoleon-Feuerbach cubic）はテンプレート:Mvarが直線テンプレート:Mvar上（テンプレート:Math,九点円の中心）にある点テンプレート:Mvarの軌跡である。

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ナポレオン点などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは K005 として登録されている。

リュカ三次曲線

テンプレート:詳細記事

三線座標: $\sum_{cyclic} \cos (A) x (b^{2} y^{2} - c^{2} z^{2}) = 0$

重心座標: $\sum_{cyclic} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) x (y^{2} - z^{2}) = 0$

リュカ三次曲線（Lucas cubic）はテンプレート:Mvar のチェバ三角形がダルブ―三次曲線上の点の垂足三角形となるような点テンプレート:Mvarの軌跡である。

リュカ三次曲線は頂点、反中点三角形の頂点、シュタイナー外接楕円の焦点、重心、垂心、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ド・ロンシャン点などを通る。

Cubics in the Triangle PlaneではK007 として登録されている。

第一ブロカール三次曲線

三線座標: $\sum_{cyclic} b c (a^{4} - b^{2} c^{2}) x (y^{2} + z^{2}) = 0$

重心座標: $\sum_{cyclic} (a^{4} - b^{2} c^{2}) x (c^{2} y^{2} + b^{2} z^{2}) = 0$

テンプレート:Math を第一ブロカール三角形（1st Brocard cubic）、テンプレート:Mvar.をそれぞれテンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点とする。このときテンプレート:Mvarが共線となるような点テンプレート:Mvarの軌跡を第一ブロカール三次曲線と言う。

第一ブロカール三次曲線は頂点、第一,第三ブロカール点の頂点、重心、類似重心、シュタイナー点などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは K017として登録されている。

第二ブロカール三次曲線

三線座標: $\sum_{cyclic} b c (b^{2} - c^{2}) x (y^{2} + z^{2}) = 0$

重心座標: $\sum_{cyclic} (b^{2} - c^{2}) x (c^{2} y^{2} + b^{2} z^{2}) = 0$

第二ブロカール三次曲線（2nd Brocard cubic）は直線テンプレート:Mvarの、テンプレート:Mvar,テンプレート:Mvarを通る外接円錐曲線に対する極がブロカール軸上にあるような点テンプレート:Mvarの軌跡である。頂点、重心、類似重心、フェルマー点、等力点、パリー点、第二,第四ブロカール三角形の頂点を通る。

Cubics in the Triangle Planeでは K018として登録されている。

1st equal areas cubic

第一等積三次曲線:テンプレート:Mvar のチェバ三角形とテンプレート:Mvarのチェバ三角形の面積が等しくなるような点テンプレート:Mvarの軌跡。

三線座標: $\sum_{cyclic} a (b^{2} - c^{2}) x (y^{2} - z^{2}) = 0$

重心座標: $\sum_{cyclic} a^{2} (b^{2} - c^{2}) x (c^{2} y^{2} - b^{2} z^{2}) = 0$

1st equal areas cubicはテンプレート:Mvar のチェバ三角形とテンプレート:Mvarのチェバ三角形の面積が等しくなるような点テンプレート:Mvarの軌跡である。テンプレート:Mvarが直線テンプレート:Mvar 上(テンプレート:Math,シュタイナー点)にあるような点テンプレート:Mvarの軌跡とも定義される。

1st equal areas cubicは内心と傍心、シュタイナー点、第一,第二ブロカール点を通る。

Cubics in the Triangle Planeでは K021として登録されている。

2nd equal areas cubic

三線座標: $(b z + c x) (c x + a y) (a y + b z) = (b x + c y) (c y + a z) (a z + b x)$

重心座標: $\sum_{cyclic} a (a^{2} - b c) x (c^{3} y^{2} - b^{3} z^{2}) = 0$

2nd equal areas cubicは三線座標で $X = x : y : z$ , $X_{Y} = y : z : x$ , $X_{Z} = z : x : y .$ とし、テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarのチェバ三角形の面積が等しくなるような点テンプレート:Mvarの軌跡である。

2nd equal areas cubicは内心、重心、類似重心 X(31), X(105), X(238), X(292), X(365), X(672), X(1453), X(1931), X(2053)などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは K155として登録されている。

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

テンプレート:参照方法

外部リンク

A Catalog of Cubic Plane Curves (archived version)
Points on Cubics
Cubics in the Triangle Plane
Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert
テンプレート:Cite web lecture in July 2016, ICMS, Edinburgh at conference in honour of Dusa McDuff's 70th birthday

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