チェビアン

幾何学において、チェビアン（英:Cevian）またはチェバ線とは三角形の頂点とその対辺を結ぶ線分の総称である。中線や角の二等分線などはチェバ線の特別な場合である。チェバ線に関する有名な定理を発表したジョバンニ・チェバに由来する。

長さ

三角形とそのチェビアンテンプレート:Mvar

スチュワートの定理

チェビアンの長さテンプレート:Mvarはスチュワートの定理を用いて次の様に求めることができる。

$b^{2}m+c^{2}n=a(d^2+mn).$

中線

チェビアンが中線である場合、中線定理を用いることができる。

$m(b^2+c^2)=a(d^2+m^2)$

$2(b^2+c^2)=4d^2+a^2$

$d=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2}.$

ただし$a=2m.$

角の二等分線

チェビアンが角の二等分線の場合、以下の様に求められる。

$(b+c{)}^2=a^2(\frac{d^2}{mn}+1),$

$d^2+mn=bc$

$d=\frac{2\sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}$

ただし、sは半周長（$s=\frac{a+b+c}{2}$）

頂垂線

チェビアンが頂垂線である場合、以下の様に求められる。

$d^2=b^2-n^2=c^2-m^2$

$d=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a},$

比率

3つのチェビアンが共点

図の様に、それぞれの頂点に対するチェビアンが内部の点で交わっているとき、以下の式が成り立つ。

$\begin{array}{cc}& \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\cdot \frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=1\\ & \\ & \frac{\overline{AO}}{\overline{OD}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{EC}}+\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}};\\ & \\ & \frac{\overline{OD}}{\overline{AD}}+\frac{\overline{OE}}{\overline{BE}}+\frac{\overline{OF}}{\overline{CF}}=1;\\ & \\ & \frac{\overline{AO}}{\overline{AD}}+\frac{\overline{BO}}{\overline{BE}}+\frac{\overline{CO}}{\overline{CF}}=2.\end{array}$

最初の式はチェバの定理である。

中界線

周長を二等分するチェビアンはテンプレート:仮リンクと呼ばれ、ナーゲル点で交わる。

面積の二等分線

面積を二等分するチェビアンは中線であり、重心で交わる。

角の三等分線

6本の角の三等分線の辺に対して同じ側にあるもの交点は、モーリーの三角形と呼ばれる正三角形を成す。

チェビアンで分割された三角形の面積

ラウスの定理によって三角形とチェビアンで作られた三角形との比を決定することができる。

チェバ三角形

テンプレート:Mathと点テンプレート:Mathについて直線テンプレート:Mathの交点をテンプレート:Math、直線テンプレート:Mathの交点をテンプレート:Math,直線テンプレート:Mathの交点をテンプレート:Mathとする。このとき、線分テンプレート:Mvarをチェバ族、チェバ単体という。また、テンプレート:Mathをテンプレート:Mathのチェバ三角形（Cevian triangle）という。テンプレート:Mathの重心座標をテンプレート:Mvarとし、テンプレート:Mathの重心座標は以下の様に与えられる。

$D=0:q:r,E=p:0:r,F=p:q:0$

例

• 重心のチェバ三角形は中点三角形
• 垂心のチェバ三角形は垂足三角形

チェバ円

チェバ三角形の外接円をチェバ円（cevian circle）という。

例

• 重心、垂心のチェバ円は九点円
• ジェルゴンヌ点のチェバ円は内接円

チェバ円共役

テンプレート:Mathと点テンプレート:Mathについて、テンプレート:Mathのチェバ三角形をテンプレート:Math、チェバ円をテンプレート:Mathとする。またテンプレート:Mathとテンプレート:Mathの、テンプレート:Mathでない方の交点をそれぞれテンプレート:Mathとする。このとき、3つのチェビアンテンプレート:Mathは一点で交わる。この3つのチェビアンの交点を、チェバ円共役点と言い、テンプレート:Mathとそのチェバ円共役点の関係をチェバ円共役（Cyclocevian conjugate）という。またチェバ円共役点のチェバ三角形をチェバ円三角形（Cyclocevian triangle）と言う。チェバ円共役が成り立つことはテルケムの定理と呼ばれている。

例

• ジェルゴンヌ点は自身とチェバ円共役
• 重心と垂心はチェバ円共役

テンプレート:Mathの三線座標をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarを三角形の辺の長さとし、チェバ円共役点の三線座標は以下の式で与えられる。$$\frac{1}{a(p^2{q}^2+p^2{r}^2-q^2{r}^2)+2pqr(ap+bq+cr)\cos A}:\frac{1}{b(q^2{r}^2+q^2{p}^2-r^2{p}^2)+2pqr(ap+bq+cr)\cos B}:\frac{1}{c(r^2{p}^2+r^2{q}^2-p^2{q}^2)+2pqr(ap+bq+cr)\cos C}$$

反チェバ三角形

テンプレート:Mathと点テンプレート:Mathについて、以下の3つの条件を満たす三角形テンプレート:Mathをテンプレート:Mathの反チェバ三角形（Anticevian triangle）または反チェバ単体という。反チェバ三角形を成す直線は反チェバ線と言われる。

• テンプレート:Mathはそれぞれテンプレート:Math上にある。
• テンプレート:Mathはそれぞれ点テンプレート:Mathを通る。
• テンプレート:Mathに対するテンプレート:Mathのチェバ三角形はテンプレート:Mathである。

テンプレート:Mathの三線座標をテンプレート:Mvarとし、テンプレート:Mathの三線座標は以下の様に与えられる。

$A^{\prime }=-p:q:r,B^{\prime }=p:-q:r,C^{\prime }=p:q:-r$

例

• 内心の反チェバ三角形は傍心三角形
• 重心の反チェバ三角形は反中点三角形
• 類似重心の反チェバ三角形は外接三角形

チェバ共役

テンプレート:Mathと任意の点テンプレート:Mathについて、テンプレート:Mathのチェバ三角形とテンプレート:Mathの反チェバ三角形は配景である。この配景の中心をテンプレート:Mathのテンプレート:Mathチェバ共役点といい、テンプレート:Mathとテンプレート:Mathのテンプレート:Mathチェバ円共役点の関係をチェバ共役(Ceva conjugate)という。

例

• ミッテンプンクトと内心は重心チェバ共役
• 類似重心と外心は重心チェバ共役

テンプレート:Mathの三線座標をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mathの三線座標をテンプレート:Mvarとすると、テンプレート:Mathのテンプレート:Mathチェバ共役点の三線座標は以下の式で与えられる。

$$p^{\prime }(-\frac{p^{\prime }}{p}+\frac{q^{\prime }}{q}+\frac{r^{\prime }}{r}):q^{\prime }(-\frac{q^{\prime }}{q}+\frac{r^{\prime }}{r}+\frac{p^{\prime }}{p}):r^{\prime }(-\frac{r^{\prime }}{r}+\frac{p^{\prime }}{p}+\frac{q^{\prime }}{q})$$

このように3つの三角形テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarがテンプレート:Mvarの、テンプレート:Mvarがテンプレート:Mvarのチェビアン三角形になっていることをチェバ線の入れ子（Cevian nest）と言う。チェバ線の入れ子の2組が配景的であるとき、残り1組も配景的である。

チェバ点

テンプレート:Mathと任意の点テンプレート:Mathについて、テンプレート:Mathの反チェバ三角形をテンプレート:Math、テンプレート:Mathの交点をテンプレート:Mathとする。テンプレート:Mathも同様に定義する。 テンプレート:Mathとテンプレート:Math は配景的であり、配景の中心をテンプレート:Mathのチェバ点（cevapoint）という。このときテンプレート:Mathはテンプレート:Mathのテンプレート:Mathのチェバ点チェバ共役、テンプレート:Mathはテンプレート:Mathのテンプレート:Mathのチェバ点チェバ共役と言うことができる。

テンプレート:Mathの三線座標をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mathの三線座標をテンプレート:Mvarとすると、テンプレート:Mathのチェバ点の三線座標は以下の式で与えられる。

$(p{q}^{\prime }+q{p}^{\prime })(p{r}^{\prime }+r{p}^{\prime }):(q{r}^{\prime }+r{q}^{\prime })(q{p}^{\prime }+p{q}^{\prime }):(r{p}^{\prime }+p{r}^{\prime })(r{q}^{\prime }+q{r}^{\prime })$

関連

• メネラウスの定理
• 垂足三角形
• 三線極線

関連

• テンプレート:Citation
• Ross Honsberger (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, pages 13 and 137. Mathematical Association of America.
• Vladimir Karapetoff (1929). "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle." American Mathematical Monthly 36: 476–479.
• Indika Shameera Amarasinghe (2011). “A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle.” Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions, Vol 24 (02), pp. 29–37.