曲線の特異点
幾何学において、曲線の特異点（とくいてん、テンプレート:Lang-en-short）は曲線がパラメーターの滑らかな埋め込みによって与えられていない点である。特異点の正確な定義は研究している曲線のタイプに依存する。
平面代数曲線
平面の代数曲線は、テンプレート:Mvar を多項式関数 テンプレート:Math として、テンプレート:Math の形の方程式を満たす点 テンプレート:Math の集合として定義できる。テンプレート:Mvar が
と展開されているとする。原点 テンプレート:Math が曲線上にあれば テンプレート:Math である。テンプレート:Math ならば陰函数定理によって滑らかな関数 テンプレート:Mvar が存在して原点の近くで曲線は テンプレート:Math の形に書ける。同様に、テンプレート:Math ならば滑らかな関数 テンプレート:Mvar が存在して曲線は原点の近くで テンプレート:Math の形である。どちらの場合にも、原点の近傍において曲線を定義する テンプレート:Math から平面への滑らかな写像が存在する。次のことに注意する。原点において
であるので テンプレート:Mvar の偏微分の少なくとも一方が テンプレート:Math でないならば曲線は原点において非特異あるいは正則 (regular) であるといい、特異点は両方の偏微分が消える曲線上の点を言うテンプレート:Sfn:
正則点
曲線は原点を通るとし テンプレート:Math と書く。すると テンプレート:Mvar は
と書ける。テンプレート:Math が テンプレート:Math でなければ テンプレート:Math は テンプレート:Math において重複度 テンプレート:Math の解を持ち原点は直線 テンプレート:Math と一重に交わる点である。テンプレート:Math であれば テンプレート:Math は重複度 テンプレート:Math かそれよりも高い解をもち直線 テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math は曲線に接する。この場合、テンプレート:Math が テンプレート:Math でなければ曲線は テンプレート:Math と二重に交わる点をもつ。テンプレート:Math の係数 テンプレート:Math は テンプレート:Math だが テンプレート:Math の係数は テンプレート:Math でないならば原点は曲線の変曲点である。テンプレート:Math の係数がともに テンプレート:Math ならば原点は曲線の起伏点 (point of undulation) と呼ばれる。この分析は曲線の任意の点に適用することが座標軸を変換して原点が与えられた点にあるようにすることによってできる[1]。
二重点
上記の展開において テンプレート:Math がともに テンプレート:Math だが テンプレート:Math のうち少なくとも 1 つは テンプレート:Math でないならば、原点は曲線の二重点 (double point) と呼ばれる。再び テンプレート:Math とおいて、テンプレート:Mvar を
と書くことができる。二重点は テンプレート:Math の解によって分類することができる。
結節点
テンプレート:Main テンプレート:Math が テンプレート:Mvar について 2 つの実解をもてば、すなわち テンプレート:Math ならば、原点は結節点と呼ばれる。このとき曲線は原点において自分自身と交わり テンプレート:Math の 2 つの解に対応して 2 つの異なる接線をもつ。関数 テンプレート:Mvar はこのとき原点において鞍点をもつ。
孤立点
テンプレート:Main テンプレート:Math が テンプレート:Mvar について実解をもたなければ、すなわち テンプレート:Math ならば、原点はテンプレート:仮リンクと呼ばれる。実平面において原点は曲線の（位相的な）孤立点であるが、しかしながら複素曲線と考えられたときは原点は孤立しておらず テンプレート:Math の 2 つの複素解に対応する 2 つの虚接線をもつ。このとき関数 テンプレート:Mvar は原点において極値をもつ。
尖点
テンプレート:Main テンプレート:Math が テンプレート:Mvar について重複度 テンプレート:Math の1つの解をもてば、つまり テンプレート:Math ならば、原点は尖点（カスプ）と呼ばれる。このとき曲線は原点において向きを変え尖った点をつくる。曲線は原点において 2 つの一致する接線と考えることのできる 1 つの接線をもつ。
さらなる分類
「節点」(node; ノード) という語は、結節点 (crunode) あるいは孤立点 (acnode) を指し示すために使われる、言い換えればカスプでない二重点である。曲線上のノードの個数とカスプの個数はテンプレート:仮リンクにおいて使われる不変量のうちの 2 つである。
テンプレート:Math の解の 1 つが テンプレート:Math の解でもあるならば、曲線の対応する分枝は原点において変曲点をもつ。このとき原点は変曲結節点テンプレート:Sfn (flecnode) と呼ばれる。両方の接線がこの性質をもてば、つまり テンプレート:Math が テンプレート:Math の因子であれば、原点は複変曲結節点 (biflecnode) と呼ばれる[2]。
多重点
一般に、テンプレート:Mvar において次数が テンプレート:Mvar よりも小さいすべての項が テンプレート:Math であり、次数 テンプレート:Mvar の項の少なくとも 1 つが テンプレート:Math でなければ、曲線は位数 テンプレート:Mvar の多重点 (multiple point) あるいは テンプレート:Mvar-重点 (テンプレート:Mvar-ple point) をもっていると言われる。曲線は一般に原点において テンプレート:Mvar 個の接線をもつ。これらの接線のうちいくつかは虚の接線かもしれないが[3]。
媒介表示曲線
テンプレート:Math において媒介変数表示された曲線は関数 テンプレート:Math, テンプレート:Math の像として定義される。特異点は
であるような点である。
多くの曲線はどちらの仕方でも定義できるが、2つの定義は一致しないかもしれない。例えば尖点は代数曲線 テンプレート:Math としても、媒介変数曲線 テンプレート:Math としても定義できて、両方の定義は原点において特異点を与える。しかしながら、テンプレート:Math の原点におけるノードのような結節点は代数曲線として考えれば曲線の特異点であるが、テンプレート:Math として径数付ければ、テンプレート:Math は決して消えず、したがってノードは上で定義された媒介表示曲線の特異点「ではない」。
径数付けを選ぶときには注意が必要である。例えば直線 テンプレート:Math は原点で特異性をもつ テンプレート:Math によって径数付けできる。テンプレート:Math によって径数付けされたときには非特異である。したがって、曲線の特異点よりもむしろテンプレート:仮リンクを議論するのが技術的により正しい。
上の定義は滑らかな関数の零点集合 テンプレート:Math として定義される陰伏曲線をカバーするように拡張でき、代数多様体だけを考える必要はない。定義はより高次元の曲線をカバーするように拡張できる。
ハスラー・ホイットニーによる定理[4][5] は次のように述べている。
- 定理 (Whitney)
- テンプレート:Math の任意の閉集合はある滑らかな関数 テンプレート:Math に対する テンプレート:Math の解集合として生じる。
任意の媒介表示曲線は陰伏曲線として定義することもでき、曲線の特異点の分類は代数多様体の特異点の分類として研究できる。
特異点の種類
特異性のうちのいくつかを以下に挙げる。テンプレート:Sfn
- 孤立した点： テンプレート:Math, テンプレート:仮リンク
- 交わる二直線： テンプレート:Math, 結節点
- 尖点： テンプレート:Math, 結節的変曲点テンプレート:Sfn (spinode) とも呼ばれる
- tacnode（接触点、重尖点、互接点）: テンプレート:Math,
- 嘴点 (rhamphoid cusp)： テンプレート:Math.
関連項目
脚注
参考文献
外部リンク
- ↑ Hilton Chapter II §1
- ↑ Hilton Chapter II §2
- ↑ Hilton Chapter II §3
- ↑ Brooker and Larden, Differential Germs and Catastrophes, London Mathematical Society. Lecture Notes 17. Cambridge, (1975)
- ↑ Bruce and Giblin, Curves and singularities, (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9, ISBN 0-521-42999-4 (paperback)