陰函数定理

数学、特に多変数微分積分学において陰函数定理（いんかんすうていり、テンプレート:Lang-en-shortテンプレート:Efn）は、解析的な多項関係を多変数函数に読み替え、関係を函数のグラフとして表すことを可能にする基本的な道具である。関係の全体は一つの函数のグラフとして大域的に表せないものの、関係の一部は一つの函数のグラフとして局所的に表せることがある。陰函数定理はそのような函数（陰函数）が存在する十分条件を与える。

定理の主張する所は、函数 テンプレート:Math がある零点の偏微分係数に関して一種の非特異性を満足するならば、その開近傍において方程式

$f(x,y)=0$

を テンプレート:Mvar 個の変数 テンプレート:Mvar について解いて テンプレート:Mvar 個の変数 テンプレート:Mvar による函数

$y=g(x)$

として表すことができる、というものである。（ただし、必ずしもテンプレート:仮リンクに書くことができるとは限らない。）方程式 テンプレート:Math から陰函数 テンプレート:Mathが定まるというのは、幾何学的には軌跡 テンプレート:Math からテンプレート:仮リンク超曲面 テンプレート:Math が定まることを意味する。

例と導入

点 テンプレート:Math の近傍では単位円上にある点の テンプレート:Mvar 座標は テンプレート:Mvar 座標の函数（具体的には テンプレート:Math）として表される。一方で点 テンプレート:Math の近傍ではそのような函数は存在しない。

二変数函数 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math と定めると、単位円をその等高線 テンプレート:Math として表すことができる。ところが各 テンプレート:Math に対して テンプレート:Mvar は相異なる二つの値（具体的には テンプレート:Math）をとるので、単位円の全体を一変数函数 テンプレート:Math のグラフとして表すことはできない。

しかしながら、単位円の一部であれば一変数函数のグラフとして表すことができることがある。たとえば

$g_{+}(x)=+\sqrt{1-x^2}(-1<x<1)$

とすれば、テンプレート:Math のグラフは単位円の上半分と一致する。同様に

$g_{-}(x)=-\sqrt{1-x^2}(-1<x<1)$

とすれば、テンプレート:Math のグラフは単位円の下半分と一致する。

単位円に対する テンプレート:Math のような陰函数が存在し、かつ十分に滑らかであることを、明示的な式を書き下せない状況下でさえ保証する一般的な命題が陰函数定理である。

定理の主張

開集合 テンプレート:Math 上の連続微分可能な函数 テンプレート:Math をとる。始域 テンプレート:Mvar を直積集合 テンプレート:Math の部分集合と見做して、この直積に属する元を テンプレート:Math と書く。そのような函数 テンプレート:Mvar が与えられたところから始めて、最終的に函数 テンプレート:Math でそのグラフ テンプレート:Math が テンプレート:Math の零点集合と一致するようなものを見つけることを考える。

既に述べたとおり、そのようなことは常に可能というわけではない。そこで テンプレート:Math の零点 テンプレート:Math を固定し、その近くで目的に合う テンプレート:Mvar を見つけることに視点を移す。すなわち、テンプレート:Math を満たす点 テンプレート:Math の開近傍 テンプレート:Mvar と点 テンプレート:Math の開近傍 テンプレート:Mvar、および函数 テンプレート:Math の三つ組 U, V, g で、 テンプレート:Mvar のグラフが テンプレート:Math 上で関係 テンプレート:Math を満足するもの、式で書けば テンプレート:Math 内の各点 テンプレート:Math で

$f(x,y)=0⟺y=g(x)$

を満足するものを求めたい。

陰函数定理を述べるためには、テンプレート:Math のヤコビ行列（函数行列）が必要である。それは テンプレート:Mvar のすべての偏微分によって形作られる行列で、テンプレート:Math における値は

$Df(a,b)=\left(\begin{array}{cccccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a,b)& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a,b)& \frac{\partial f_1}{\partial y_1}(a,b)& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m}(a,b)\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a,b)& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a,b)& \frac{\partial f_m}{\partial y_1}(a,b)& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}(a,b)\end{array}\right)=(X\mid Y)$

で与えられる。右辺において、テンプレート:Mvar は変数 テンプレート:Mvar たちに関する偏微分からなる行列、テンプレート:Mvar は変数 テンプレート:Mvar に関する偏微分からなる行列である。陰函数定理が述べるのは、このときの行列 テンプレート:Mvar が正則ならば、所期の通りの テンプレート:Mvar が存在することである。以上全ての仮定をまとめれば以下の定理を得る。

テンプレート:Math theorem 正則性 (regularity) に関して以下のような一般化が可能である: テンプレート:Ordered list

例の再考

ふたたび単位円の例に戻ろう。すなわち、定理において テンプレート:Math および テンプレート:Math と置いた場合であり、ヤコビ行列は テンプレート:Math-行列

$Df(a,b)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)& \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2a& 2b\end{array}\right)$

で与えられる。したがって定理に言う テンプレート:Mvar はここでは単に数 テンプレート:Math で、それが定める線型写像が正則であるための必要十分条件は テンプレート:Math である。ゆえに陰函数定理によれば、単位円は、テンプレート:Math なる任意の点に対して局所的に テンプレート:Math の形に書くことができる。しかし、既に上でも述べたが、点 テンプレート:Math においては問題が生じる。陰函数定理はこれら二つの点においても適用することは未だ可能であるが、それは テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の函数 テンプレート:Math と見てのことである。実際、そのグラフを テンプレート:Math とすれば、テンプレート:Math のとき テンプレート:Math と取れるから、局所的にこの形の函数に表されるための条件は満足されている。

テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar に関する陰函数微分、および テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar に関する陰函数微分は、陰函数 テンプレート:Math の全微分 を テンプレート:Math に等しいと置いた

$2xdx+2ydy=0$

から求めることができる。すなわち、テンプレート:Math および テンプレート:Math が成り立つ。

応用: 座標変換

以下、座標系 テンプレート:Math で座標付けられた テンプレート:Mvar-次元空間を考える。これに適当な函数系 テンプレート:Math を施して、新たな座標系 テンプレート:Math を導入する。すなわち、各点の新座標は旧座標から

$x{\text{'}}_1=h_1(x_1,\dots ,x_m),\dots ,x{\text{'}}_m=h_m(x_1,\dots ,x_m)$

と計算することができる。この逆が可能であるかどうか、すなわち各点の新座標 テンプレート:Math から旧座標 テンプレート:Math に戻せるか、を検証したいと考えるかもしれない。この問いに、陰函数定理は一つの答えを提供する。

新旧の座標の対、テンプレート:Math は

$f(x{\text{'}}_1,\dots ,x{\text{'}}_m,x_1,\dots x_m)=(h_1(x_1,\dots x_m)-x{\text{'}}_1,\dots ,h_m(x_1,\dots ,x_m)-x{\text{'}}_m)$

と置くことにより、テンプレート:Math なる関係を持つ。ここに テンプレート:Mvar の適当な点 テンプレート:Math におけるヤコビ行列は

$Df(a,b)=\left(\begin{array}{cccccc}-1& \cdots & 0& \frac{\partial h_1}{\partial x_1}(b)& \cdots & \frac{\partial h_1}{\partial x_m}(b)\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & -1& \frac{\partial h_m}{\partial x_1}(b)& \cdots & \frac{\partial h_m}{\partial x_m}(b)\end{array}\right)=(-1_m\mid J)$

で与えられる。右辺の テンプレート:Math は テンプレート:Math-単位行列で テンプレート:Mvar は各偏微分の テンプレート:Math における値からなる行列である（これらは上で テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar と書いていたものである。いまの例ではたまたまどちらの行列も テンプレート:Mvar に依存しない）。陰函数定理の主張に従えば、この行列 テンプレート:Mvar が正則であるときには、テンプレート:Math は局所的に テンプレート:Math の函数として表される。テンプレート:Mvar が正則であることは テンプレート:Math と同値であるから、テンプレート:Mvar の行列式が非零であるとき、新座標は旧座標に引き戻すことができることが分かった。この主張もまた逆写像定理と呼ばれている。

例: 極座標系

簡単な例として、平面上の極座標系 テンプレート:Math を考える。新たな座標系として直交座標系を考えれば、変換は テンプレート:Math および テンプレート:Math で与えられる。これにより、任意の点 テンプレート:Math が与えられれば、対応する直交座標 テンプレート:Math が計算できる。逆に直交座標を極座標に変換することができるのはいつなのかを考えよう。前節に従えば、ヤコビ行列

$J=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x(r,\theta )}{\partial r}& \frac{\partial x(r,\theta )}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y(r,\theta )}{\partial r}& \frac{\partial y(r,\theta )}{\partial \theta }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)$

が テンプレート:Math を満たすことが十分であった。ここに テンプレート:Math が成り立つから、極座標に戻すためには テンプレート:Math が十分である。ゆえに残りの テンプレート:Math の場合に関して確かめよう。この場合、座標変換が可逆でないことを確かめることは容易である。実際、原点において テンプレート:Mvar の値は定義可能でない。

一般化

バナッハ空間版

バナッハ空間における逆写像定理は、陰函数定理がバナッハ空間値の写像に対しても拡張できることに基づく。

テンプレート:Mvar がバナッハ空間で、写像 テンプレート:Math は連続フレシェ微分可能とする。テンプレート:Math は テンプレート:Math を満たし、かつ テンプレート:Math が テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar の上へのバナッハ空間同型となるならば、テンプレート:Math の近傍 テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の近傍 テンプレート:Mvar およびフレシェ微分可能函数 テンプレート:Math が存在して、任意の テンプレート:Math に対して テンプレート:Math かつ テンプレート:Math とできる。

微分不能函数の定める陰函数

函数 テンプレート:Mvar が微分可能でない場合の陰函数定理には様々な形のものが存在する。標準的な定理は一次元において成立するものである。以下に示すより一般の形の定理は、Jittorntrum の観察に基づいて、Kumagaiが証明した。

定理

函数 テンプレート:Math は テンプレート:Math を満たすとする。テンプレート:Math および テンプレート:Math それぞれの開近傍 テンプレート:Math および テンプレート:Math が存在して、任意の テンプレート:Math に対して テンプレート:Math が局所的に一対一となるならば、テンプレート:Math および テンプレート:Math それぞれの開近傍 テンプレート:Math および テンプレート:Math が存在して、方程式 テンプレート:Math が一意な解 テンプレート:Math を持つ。ここで テンプレート:Mvar は テンプレート:Math から テンプレート:Math への連続函数である。

関連項目

• テンプレート:仮リンク: 陰函数定理および逆写像定理の一般化

参考文献

• テンプレート:Cite book

• テンプレート:SpringerEOM.

• テンプレート:Cite book

• テンプレート:Cite book

• テンプレート:Cite journal

• テンプレート:SpringerEOM.

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