シュタイナー点

ユークリッド幾何学において、シュタイナー点（シュタイナーてん、テンプレート:Lang-en-short）は三角形の中心の一つである^[1]。テンプレート:仮リンクの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(99)として登録されている^[2]。1826年、スイスの数学者ヤコブ・シュタイナーによって言及され、1886年、ヨーゼフ・ノイベルグによって名付けられた^[2]^[3]。なお、頂点との距離の和を最小にする点をシュタイナー点と言う場合もある（テンプレート:仮リンクを参照）^[4]。

定義

シュタイナー点の定義は以下のとおりである（これはシュタイナー自身が採用した定義ではない^[2]）。

「Encyclopedia of Triangle Centers」で採用された定義は以下の通りである。

シュタイナー点の三線座標は以下の様に与えられる。

$\frac{b c}{b^{2} - c^{2}} : \frac{c a}{c^{2} - a^{2}} : \frac{a b}{a^{2} - b^{2}}$

$= b^{2} c^{2} \csc (B - C) : c^{2} a^{2} \csc (C - A) : a^{2} b^{2} \csc (A - B)$

シュタイナー楕円と外接円の第四交点である。
シュタイナー点のチェバ三角形はシュタイナー三角形（Steiner triangle）と呼ばれ、キーペルト放物線のPolar triangleである。また、シュタイナー点はキーペルト放物線のブリアンション点である。
カナダの数学者ロス・ホンスバーガーは、三角形のシュタイナー点は、各頂点にその頂点の外角の大きさに等しい質量をつり下げて得られる系の重心であると述べた^[5]。しかしこれは誤りで、実際は、シュタイナーの曲率重心X(1115) であり、その三線座標は以下の式で与えられる。 $(\frac{π - A}{a} : \frac{π - B}{b} : \frac{π - C}{c})$ .^[6]
シュタイナー点に対する三角形テンプレート:Mvarのシムソン線は外心と類似重心を通る直線（ブロカール軸）に平行である。

シュタイナー点と似た性質を持つ点がタリ―点である。三角形テンプレート:Mvarの外接円の、シュタイナー点の対蹠点をタリ―点と言う。「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(98)として登録されている。タリ―点の三線座標は以下の式で与えられる。

\sec (A + ω) : \sec (B + ω) : \sec (C + ω)

= f (a, b, c) : f (b, c, a) : f (c, a, b)

f (a, b, c) = \frac{b c}{b^{4} + c^{4} - a^{2} b^{2} - a^{2} c^{2}}

である。

シュタイナー点のように、タリ―点は以下の様に定義される。