ケイリー＝バッハラッハの定理

ケイリー＝バッハラッハの定理の特別な場合。テンプレート:Mathが3本の直線に退化している。

ケイリー＝バッハラッハの定理（ケイリー＝バッハラッハのていり、テンプレート:Lang-en-short）は数学における射影平面テンプレート:Math上の三次曲線に関する定理。

射影平面上の2つの3次曲線テンプレート:Mathが、異なる9つの点で交わっているとする。この9点のうち8点を通る3次曲線は他の9番目の点を通る。

ケイリー＝バッハラッハの本質的な形式は次のように導かれる。

与えられた8点テンプレート:Mathを通る代数的閉体上のすべての3次曲線テンプレート:Mathは、テンプレート:Mathに依存するある点テンプレート:Mathを通る。

ミシェル・シャールは最初に円錐曲線の場合の定理を証明した。その後アーサー・ケイリーとイザーク・バッハラッハによって一般化されたテンプレート:Sfnp。ケイリーの証明には、重大な見落としがあった。バッハラッハはアレクサンダー・フォン・ブリルとテンプレート:仮リンクの研究に基づき、ケイリーの証明を改善し、1881年に正しい一般化を示した。

詳細

ベズーの定理より、三次曲線は二次曲線を含むため、テンプレート:Mathのうち7点が円錐曲線上にあるならば、9つ目の点をその円錐曲線上に選ぶことができる。そうでない場合は次のようになる。

テンプレート:Mathのどの7点も同一円錐曲線上になければ、（二重点では重複を持つ）テンプレート:Math（のアフィン凸錐上）で0を取る三次斉次多項式のベクトル空間の次元は2である。

この場合、テンプレート:Mathを通るすべての3次曲線は、同様にテンプレート:Mathを通る異なる2つの三次曲線の9番目の交点を通る。ベズーの定理によれば2つの3次曲線には代数的閉包上に必ず9つの交点が存在する。

円錐曲線が1,2直線に退化したならば、退化した円錐曲線上の7点のうち、少なくとも4点は共線である。よって次の結果を得る。

8点テンプレート:Mathのうち、どの7点も非退化円錐曲線上になく、どの4点も共線でなければ、テンプレート:Math（のアフィン凸錐上）で0を取る三次斉次多項式のベクトル空間の次元は2である。

一方で、テンプレート:Mathが共線で、8点テンプレート:Mathのうちどの7点も非退化円錐曲線上にない場合を考えると、8点のうちどの5点も共線でなく、また、テンプレート:Mathのうちどの3点も共線でない。ベズーの定理によれば、3次曲線は直線を含むから、テンプレート:Math（のアフィン凸錐上）で0を取る三次斉次多項式のベクトル空間は、テンプレート:Math（のアフィン凸錐上）で0を取る2次元の二次斎次多項式ベクトル空間と同型である。

2次元の結果の条件とは異なるものの、どちらも、一般の位置にある場合よりも弱い結果である。上記の結果は3点が共線であること、6点が同一円錐曲線上にあることを許す場合である。 ケイリー＝バッハラッハの定理の成立条件は、ただ9点を通る3次曲線の族であることが条件である。

ベズーの定理によれば、代数的閉体上の既約でない異なる2つの3次曲線は重複を含め、常に9点で交わる。したがって、ケイリー＝バッハラッハの定理は、どの7点も同一円錐曲線にない8つの交点を与えたとき、曲線の族内の任意の2つの交点の最後の点は不動であることを主張する。

応用

ケイリー＝バッハラッハの定理の特殊な場合にパスカルの定理がある。パスカルの定理は円錐曲線上に6点テンプレート:Mathを取ったとき、テンプレート:Mathとテンプレート:Math、テンプレート:Mathとテンプレート:Math、テンプレート:Mathとテンプレート:Mathの交点は共線であるという定理である。3次曲線の1つを3直線に退化させ、6つの交点を円錐曲線上に配置すれば、（もう一方の3次曲線をその円錐曲線とある1本の直線として）ケイリー＝バッハラッハの定理より残り3つの交点が共線になる。

パップスの六角形定理は、上述の円錐曲線をさらに2直線に退化させることで示される。

ケイリー＝バッハラッハの定理の上記の3番目の場合は楕円曲線の点の加法性により証明できる。1つめの3次曲線を3直線テンプレート:Mathとする。8点テンプレート:Mathは、2つの3次曲線の共通の点である。9つ目の点はテンプレート:Mathとなって一致する。

次元の勘定

ケイリー＝バッハラッハの定理と、それが3次曲線で起きる理由はテンプレート:仮リンクから説明できる。9つの点は一意的な三次曲線を決定する。したがって、9つの点が2つ以上の3次曲線上にある場合、つまり2つの3次曲線の（テンプレート:Mathつの）交点である場合、この点らはテンプレート:仮リンクにはないこと、1次元のテンプレート:仮リンク があることを意味する。そして、この9点を通る3次曲線は"eight implies nine"という特性を満たすように、さらなる条件を満たす。これを一般に過剰度（superabundance）という。過剰度については曲面のリーマン・ロッホの定理を見よ。

詳細

形式的には、まず、テンプレート:Mvar次の2つの曲線が与えられたとき、方程式の線型結合でそれらがテンプレート:Mvar次の束（1変数の線形システム）を成すことを考える。これは曲線のテンプレート:仮リンク（あるいは単に射影空間）上の射影直線を決定する2点に対応する。

ケイリー＝バッハラッハの定理は高次においても起こる。これはテンプレート:Mvar次の2曲線の交点の個数テンプレート:Mathが 次数テンプレート:Mvarの曲線を決定する点の個数より早く成長するためである。次数テンプレート:Mvarの曲線を決定する点の個数は次式で与えられる。

$\frac{(d+1)(d+2)}{2}-1=\frac{d^2+3d}{2}.$

テンプレート:Mathの場合がケイリー＝バッハラッハの定理に対応する。より高次の場合でもテンプレート:Mathはこの数より大きいので、ケイリー＝バッハラッハの定理はより高次に一般化される。

具体的には、テンプレート:Mvar次の曲線の決定に必要な点の個数は、テンプレート:Mvar次の単項式の数から1を引いた数である。小さいテンプレート:Mvarにおいては以下の様な計算になる。

• テンプレート:Math 2と1: 2点が直線を決定し、2直線は一点で交わる。
• テンプレート:Math 5と4: 5点が円錐を決定し、2つの円錐曲線は4点で交わる。
• テンプレート:Math 9と9: 9点が三次曲線を決定し、2つの3次曲線は9点で交わる。
• テンプレート:Math 14と16.

したがってケイリー＝バッハラッハの定理が起きる最初の数は3で、テンプレート:Mathのとき、交点の数が曲線の決定に必要な数を上回る。

これは3次曲線が高次の代数曲線より猶更特別であることを意味する。より低い次数、1次の場合は、2直線は1点で交わるが、これは一般的な位置にある。2次曲線も4点で交わるが、二次曲線が既約で、交点が共線でないとするならば、これも一般的な位置である。5つの条件が2次方程式を決定するので、4点では、曲線の方程式が決まらないからである（4点を通る二次曲線の束を成す）。一方、3次方程式は9つの条件で決定されるため、ある9つの点を通る3次曲線が束を成すということは、その9点が特別な位置にあることということになる。 したがって解となる空間の次元は1つ高くなり、追加の条件"8 implies 9"を導く。

より具体的には、テンプレート:Mathを変数とする3次の斉次多項式テンプレート:Mathのベクトル空間は10次元を持つので、異なる8点を通る3次曲線の系は2次以上のベクトル空間で媒介変数表示される （ある点で多項式が0になることは1つの線型条件を課す）。 これは、どの4点も共線でないかつ、どの7点も円錐曲線上にないならば、2次になることを導ける。ケイリー＝バッハラッハの定理はこの事実から演繹される。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• ゴレンシュタイン環
• クラメールのパラドックス

出典

参考文献

• Michel Chasles, Traité des sections coniques, Gauthier-Villars, Paris, 1885.
• テンプレート:Citation
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• Edward D. Davis, Anthony V. Geramita, and Ferruccio Orecchia, Gorenstein algebras and Cayley–Bacharach theorem, Proceedings of the American Mathematical Society 93 (1985), 593–597.
• David Eisenbud, Mark Green, and Joe Harris, Cayley–Bacharach theorems and conjectures, Bulletin of the American Mathematical Society 33 (1996), no. 3, 295—324. テンプレート:MathSciNet
• テンプレート:Cite arXiv
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:MathWorld