次元 (ベクトル空間)
数学における、ベクトル空間の次元（じげん、テンプレート:Lang-en-short）とは、その基底の濃度、すなわち基底に属するベクトルの個数である。 他の種類の次元（たとえばヒルベルト次元）との区別のため、ハメル次元または代数次元と呼ばれることもある。この定義は「任意のベクトル空間は（選択公理を仮定すれば）基底を持つ」ことと「一つのベクトル空間の基底は、どの二つも必ず同じ濃度を持つ」という二つの事実に依存しており、これらの事実の結果として、ベクトル空間の次元は空間に対して一意的に定まる。体 テンプレート:Mvar 上のベクトル空間 テンプレート:Mvar の次元を テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math で表す（文脈から基礎とする体 テンプレート:Mvar が明らかならば単に テンプレート:Math と書く）。
ベクトル空間 テンプレート:Mvar が有限次元であるとは、その次元が有限値であるときにいう。
例
ベクトル空間 テンプレート:Math は
を基底に持ち、従って テンプレート:Math が成り立つ。より一般に、テンプレート:Math が成り立ち、さらに一般に、任意の体 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が成り立つ。
複素数の全体 テンプレート:Mathbf は実ベクトル空間でも複素ベクトル空間でもあるが、それぞれの場合について テンプレート:Math および テンプレート:Math が成り立つ。従って、次元の値は基礎とする体の取り方に依存するものである。
次元が テンプレート:Math のベクトル空間は、零ベクトルのみからなるベクトル空間 テンプレート:Math のみである。
いくつかの事実について
ベクトル空間 テンプレート:Mvar の部分線型空間 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が成り立つ。
二つの有限次元ベクトル空間が等しいことを示すのに、次の判定規準が利用できる。
- テンプレート:Mvar が有限次元ベクトル空間で テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の部分線型空間とするとき、テンプレート:Math ならば テンプレート:Math が成り立つ。
テンプレート:Math は標準的な基底 テンプレート:Math を持つ。ただし テンプレート:Math は単位行列の第 テンプレート:Mvar-列に対応する。従って テンプレート:Math の次元は テンプレート:Mvar である。
体 テンプレート:Mvar 上の任意の二つのベクトル空間は、その次元が等しいならば互いに同型である。それらの基底の間の任意の全単射はベクトル空間の間の全単射な線型写像に一意的に拡張することができる。集合 テンプレート:Mvar が与えられたとき、テンプレート:Mvar 上の次元が テンプレート:Math （テンプレート:Mvar の濃度）であるようなベクトル空間を、次のように作ることができる。写像 テンプレート:Math で、有限個の例外を除く テンプレート:Mvar の各元 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math となるようなものの全体 テンプレート:Math を取り、元ごとの和とスカラー倍によってこれらの写像の間の加法と テンプレート:Mvar の元によるスカラー乗法を定めれば、それが初期の テンプレート:Mvar-ベクトル空間である。
次元についての重要な結果として、線型写像に対する階数・退化次数定理が挙げられる。
テンプレート:Math を体の拡大とすると、拡大体 テンプレート:Mvar は特に部分体 テンプレート:Mvar 上のベクトル空間の構造を持つ。さらに、任意の テンプレート:Mvar-ベクトル空間 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar-ベクトル空間と見ることもできる。これらのベクトル空間の次元は
なる関係によって結ばれている。特に任意の テンプレート:Mvar-次元複素ベクトル空間は実ベクトル空間として次元 テンプレート:Math を持つ。
ベクトル空間の次元について、基底の濃度および空間自身の濃度に関するいくつか簡単な公式が知られている。テンプレート:Mvar を体 テンプレート:Mvar 上のベクトル空間とし、その次元を テンプレート:Math で表すと
- テンプレート:Math が有限ならば テンプレート:Math
- テンプレート:Math が無限ならば テンプレート:Math
などが成立する。
一般化
ベクトル空間をマトロイドの特別の場合とみることができて、後者にたいして次元の概念を矛盾なく定義することができる。加群の長さおよびアーベル群のランクは、いずれもベクトル空間の次元と同様のさまざまな性質をもつ。
ヴォルフガンク・クルル (1899–1971) に由来する、可換環のクルル次元は、環の素イデアルの昇列における真の包含関係の個数のうち最大のものとして定義される。
トレースによる特徴づけ
テンプレート:See also ベクトル空間の次元は、その恒等作用素のトレースとして特徴付けることもできる。例えば、
はトレースの定義から明らかだが、一般化には有用である。
まず、これにより自然な意味での基底をもたないがトレースが定義できると言う場合にも次元の概念を定義することができるようになる。例えば代数 テンプレート:Mvar が単位射 テンプレート:Math および余単位射 テンプレート:Math を持つならば、合成射 テンプレート:Math は「恒等変換のトレース」に対応するスカラー（一次元空間上の線型作用素）であり、これによって抽象代数に対する次元の概念を考えることができる。実用上は、双代数について（余単位射を次元で割った テンプレート:Math に正規化して）この合成射が恒等変換となることを要求することがある。この場合には正規化定数が次元に対応することになる。
また、無限次元空間上の作用素のトレースを定義することもできる。この場合、（有限な）次元が存在しなくても（有限次の）トレースを定義して、「作用素の次元」の概念を考えることができる。これらは、ヒルベルト空間上の「トレースクラス作用素」やもっと一般のバナッハ空間上の核作用素の考え方に該当する。
もう少し一般化して、作用素の族のトレースを「捻られた」時限の一種と考えることもできる。これは表現論において顕著に現れる。表現論における表現の指標とは表現のトレースのことであるから、群 テンプレート:Mvar 上のスカラー値函数 テンプレート:Math の単位元 テンプレート:Math における値 テンプレート:Math が表現の次元ということになる。これは表現によって単位元が写される先が単位行列であること、すなわち
が成立することによる。そこで指標の他の値 テンプレート:Math を「捻られた」次元と考えることができて、次元に関する主張に対して、「次元」を指標や表現で置き換えたアナロジーや一般化を得ることができる。このようなものはモンスター群のムーンシャイン現象の理論において生じる。[[j不変量|テンプレート:Mvar-不変量]]はモンスター群の無限次元次数つき表現の次数つき次元であるが、次元を指標に取り替えることによりモンスター群の各元に対してマッケイ＝トンプソン級数が与えられる[1]。
関連項目
参考文献
テンプレート:Reflist テンプレート:Refbegin
外部リンク
- MIT Linear Algebra Lecture on Independence, Basis, and Dimension by Gilbert Strang at MIT OpenCourseWare