次数付きベクトル空間

テンプレート:出典の明記 数学における次数付きベクトル空間（じすうつき­ベクトル­くうかん、テンプレート:Lang-en-short; 次数ベクトル空間、次数付き線型空間、次数線型空間）は、テンプレート:Ill2 (grading) と呼ばれる追加の構造を持つベクトル空間であり、次数付けにより適当な線型部分空間の直和として記述される。

導入

非負整数全体の成す集合 テンプレート:Mathbf に対し、テンプレート:Mathbf で次数付けられたベクトル空間はしばしば単に次数線型空間のように テンプレート:Mathbf を落として呼ばれる。次数付きベクトル空間 テンプレート:Mvar は、各 テンプレート:Mvar がベクトル空間となるような形の直和分解 $$V=\underset{n\in \mathbb{N}}{⨁}{V}_n$$ を持つベクトル空間を言う。また各 テンプレート:Mvar に対し テンプレート:Mvar を次数 テンプレート:Mvar の斉次成分、その各元を次数 テンプレート:Mvar の斉次元と呼ぶ。

次数付き線型空間は一般的によく用いられる概念である。例えば、 $$ℂ[z]=\underset{n\in \mathbb{N}}{⨁}ℂz^n$$ のように一変数（あるいは多変数）の多項式全体の成す集合は次数付き線型空間を成し、その次数 テンプレート:Mvar の斉次元はちょうど斉次次数 テンプレート:Mvar の斉次多項式——次数 テンプレート:Mvar の単項式からなる線型結合——によって与えられる。他にもベクトル空間 テンプレート:Mvar に対して、そのテンソル代数 テンプレート:Math や対称代数 テンプレート:Math あるいは外積代数 $\bigwedge (V)$ などにも自然に次数を定義することができる。

一般の定義

次数付きベクトル空間の各斉次成分は、自然数の集合 テンプレート:Mathbf に限らず、任意の添字集合 テンプレート:Mvar で添字付けることができる。すなわち、テンプレート:Mvar-次数付き線型空間 テンプレート:Mvar は集合 テンプレート:Mvar の各元 テンプレート:Mvar で添字付けられた部分線型空間の直和 $$V=\underset{i\in I}{⨁}{V}_i$$ に書けるベクトル空間を言う。

特に、添字集合 テンプレート:Mvar が整数の剰余類環 テンプレート:Math の場合は物理学において重要で、テンプレート:Math-次数付き線型空間はテンプレート:Ill2とも呼ばれる。

次数付き準同型

一般の添字集合 テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar-次数線型空間の間の線型写像 テンプレート:Math がテンプレート:Vancであるとは、それが斉次元の次数付けを保つとき、すなわち $$f(V_i)\subseteq W_i(\mathrm{\forall }i\in I)$$ を満たすときに言う。次数線型写像のことを、次数線型空間の間の準同型または射とも、あるいは斉次線型写像とも呼ぶ。

係数体および添字集合を固定して考えるとき、次数付き線型空間の全体は次数線型写像を射として圏を成す。

テンプレート:Mvar が可換モノイドであるときには（たとえば自然数の集合 テンプレート:Mathbf のときはそう）、より一般に任意の テンプレート:Math に対する斉次性を $$f(V_j)\subseteq W_{i+j}(\mathrm{\forall }j\in I)$$ なる条件によって定義することができる。ここで "テンプレート:Math" はモノイドの演算とする。さらに テンプレート:Mvar が消約性を満足し、したがって適当な可換群に埋め込めるときは（たとえば自然数の集合 テンプレート:Mathbf のときはそう）、テンプレート:Mvar の生成する可換群 テンプレート:Mvar の任意の元 テンプレート:Mvar を次数として斉次線型写像を同じ式（ただし "テンプレート:Math" を テンプレート:Mvar の群演算として）で定義できる。とくに、任意の テンプレート:Math に対し、(テンプレート:Math)-次の斉次準同型は $$f(V_{i+j})\subseteq W_j(\mathrm{\forall }j\in I)$$ で定義される。ただし、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar に入らないときには テンプレート:Math とする。

線型空間からそれ自身への線型写像全体が自己準同型環と呼ばれる結合多元環を成すのとまったく同様にして、次数線型空間上の斉次自己準同型全体は（次数をモノイド テンプレート:Mvar に制限しても、群 テンプレート:Mvar の元となることを許しても、それぞれで次数付けられる）結合的な次数付き多元環を成す。

次数線型空間の演算

テンプレート:Anchors テンプレート:Seealso ベクトル空間の場合と同様に次数線型空間に対しても、既知の次数線型空間から新たな次数線型空間を与える操作（次数ベクトル空間同士の演算）をいくつか定義することができる。

同じ テンプレート:Mvar で次数付けられた二つの テンプレート:Mvar-次数線型空間 テンプレート:Mvar に対し、それらの直和は $$V\oplus W:=\underset{i}{⨁}{X}_i;X_i:=V_i\oplus W_i(\mathrm{\forall }i\in I)$$ として次数付けられる テンプレート:Mvar-次数線型空間を言う。

テンプレート:Mvar が半群であるとき、ふたつの テンプレート:Mvar-次数線型空間 テンプレート:Mvar のテンソル積 $V\otimes W=\underset{i}{⨁}{X}_i$ は $$X_i:=\underset{j+k=i}{⨁}{V}_j\otimes W_k$$ なる テンプレート:Mvar-次数線型空間を言う。

関連項目

• ヒルベルト–ポワンカレ級数
• テンプレート:Ill2
• テンプレート:Ill2
• 次数付き加群
• テンプレート:Ill2

参考文献

• Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Chapters 1-3), テンプレート:ISBN2, Chapter 2, Section 11; Chapter 3.

外部リンク

• テンプレート:Nlab