剰余類環

テンプレート:Otheruses テンプレート:出典の明記 数学において、自然数 テンプレート:Mvar を法とする合同類環（ごうどうるいかん）あるいは剰余（類）環（じょうよ[るい]かん、テンプレート:Lang-en-short, テンプレート:Lang-de-short）は、整数を テンプレート:Mvar で割った「剰余」を抽象的な類別として捉えたものである。

本項は剰余類環 テンプレート:Math の代数的な定義と性質について述べる。合同類別に関するより平易な導入については整数の合同を参照のこと。

定義

テンプレート:Math を自然数とする。テンプレート:Mvar で割った剰余が等しい整数をすべて集めたものを、「テンプレート:Mvar を法とする」合同類あるいは剰余類と呼ぶ。したがって、ふたつの整数が同じ剰余類に属するのは、それらの差が テンプレート:Mvar で整除されるときであり、かつそのときに限る。テンプレート:Mvar を法とする剰余類の全体は、以下に述べる加法と乗法に関して テンプレート:Mvar を法とする合同類環あるいは剰余類環と呼ばれる環を成す。剰余類環はしばしば テンプレート:Math などで表される。

剰余類に対する加法および乗法は、代表元 (テンプレート:Lang, テンプレート:Lang) とも呼ばれる、各剰余類に属する任意の元（これは通常の整数）に対して整数としての加法および乗法を行い、その結果として得られる和および積の属する剰余類を対応させるものである。これは テンプレート:Mvar の属する剰余類を テンプレート:Math と表せば

$[a]+[b]:=[a+b],[a]\times [b]:=[a\times b]$

と表せる。ここで、この演算が「剰余類に対する演算」としてきちんと定義されていることは、結果（和や積）として求まる剰余類が代表元の取り方に依らないこと、すなわち、テンプレート:Math を テンプレート:Math かつ テンプレート:Math を満たす任意の整数とすれば、

$[a_1+a_2]=[b_1+b_2],[a_1\times a_2]=[b_1\times b_2]$

が成り立つことから確認できる。

表記と慣例について

テンプレート:Math と書くと、素数 テンプレート:Mvar に対する[[p進数| テンプレート:Mvar-進整数]]全体の成す環 テンプレート:Math と混同のおそれがあり、剰余類環を テンプレート:Math で表すことを好む文脈では、テンプレート:Mvar-進整数の全体は ${\hat{\mathbb{Z}}}_p$ で表すこともある。しかし、テンプレート:Math と書くのが、面倒だがもっとも誤解は少ないだろう。また、テンプレート:Math という表記もあるが稀であり、加えて

$\frac{1}{n}\mathbb{Z}:=\{\frac{k}{n};k\in \mathbb{Z}\}$

なる集合と紛らわしい。

記号の濫用だが、記述の面倒を避けるため慣例的に、同値類を表すのに代表元に施す角括弧をしばしば省略して、代表元とそれが属する合同類とを同じ文字で表す。したがってこのとき、同じ合同類を表すのに無数の符牒が与えられていることになる。たとえば、テンプレート:Math および テンプレート:Math は テンプレート:Math に属する合同類の間の関係式と考えれば有効な式である。また、慣例的に合同類を表す符牒が無数にあるという不定性を除くために、各合同類から「標準的」テンプレート:Lang な代表元を選んで、それと合同類とを同一視することもよく行われる。

このような慣例的規約に従えば、剰余類環 テンプレート:Math は テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 個の元からなる。また、次の式

$(a+b)modn,(a\times b)modn$

は整数環 テンプレート:Math における演算から得られる合同類を表すものであるけれども、規約に従えば、それと同時に テンプレート:Math における演算そのものを表しているものと、直ちに解釈することができる。また、剰余類環における（和や積といった）算術演算を繰り返す計算（すなわち、テンプレート:Math 係数の多項式 テンプレート:Math の、テンプレート:Math の任意の元 テンプレート:Math における値 テンプレート:Math の評価）は、それを整数と見て計算した結果について、法 テンプレート:Mvar に関する剰余を取ればよい。この最後の操作をモジュラー簡約 テンプレート:Lang などともいう。ただし、モジュラー簡約の操作は整数と見ての計算の途中のどんな場所でも行ってよい。

2-冪 テンプレート:Math に対しては、テンプレート:Math に関して対称な代表系

$\{-\frac{n}{2},\dots ,-1,0,1,\dots ,\frac{n}{2}-1\}$

をとることもできる。これはつまりビット列としての整数の表示、いわゆる二進表示に対応するものである。

性質

任意の自然数 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math は、テンプレート:Math を零元、テンプレート:Math を単位元とする可換環を成す。

テンプレート:Mvar が素数ならば剰余類環 テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar を法とする剰余体とも呼ばれる、位数 テンプレート:Mvar の有限体を成し、（体を表す英語 テンプレート:Lang の頭文字をとって）テンプレート:Math とも書かれる。各元の乗法に関する逆元はユークリッドの互除法を用いて簡単に計算することができる。

一方、テンプレート:Mvar が素数でないならば、テンプレート:Mvar の任意の約数が零因子となって乗法逆元を持たないので、テンプレート:Mvar を法とする剰余環は体にはならない。テンプレート:Mvar との最大公約数 テンプレート:Math が テンプレート:Math である（つまり テンプレート:Mvar と互いに素である）ような整数 テンプレート:Mvar に対し、合同類 テンプレート:Math は、法 テンプレート:Mvar に関する既約剰余類または既約合同類と呼ばれる。既約剰余類の全体はテンプレート:仮リンクと呼ばれる群 テンプレート:Math を成す。これは環 テンプレート:Math の単数群であり、その位数はオイラー数 テンプレート:Math である。

例

時計の文字盤の表示

テンプレート:Math を法として計算される時計の針

合同類における算術の一つの例をアナログ時計の文字盤を使って図示することができる。時計の文字盤には「時間」に応じて 1 から 12 までの番号が振られていて「12時」は「0時」と同一であり、「0時」から始めて「1時間」加えるごとに順番に、12の数字のそれぞれを辿ることができる。

「時間」を足し算するには、加えられるほうの時間を起点にして、加えたい時間ぶんだけ時計を進めればよい。たとえば テンプレート:Math がいくつになるのか知りたければ、「4時」のところを起点にして「5時間」後にいる場所が「9時」のところなので テンプレート:Math という具合である。これで テンプレート:Math がいくつになるか計算してみよう。同様に「9時」のところを基点に、針を「5時間」進めると「2時」のところにいるはずである。つまり、この系のなかでは テンプレート:Math ということになる。さて、どうしてこうなるのか少し考えてみよう。単純に テンプレート:Math と テンプレート:Math とを足し合わせると テンプレート:Math となるのだが、時計の盤面では「14時」は「2時」と一致するから、ここでは テンプレート:Math であったわけで、ここでの加法はふつうの和を計算してから12を引けるだけ引いたものということになる。これは テンプレート:Math を法とする剰余類に相当し、このタイプの足し算は「テンプレート:Math を法とする加法（テンプレート:Math の加法）」と呼ばれる。このとき、テンプレート:Math を加えることは、どの「時間」テンプレート:Math についても テンプレート:Math となるから、何の変化ももたらさない。これで「12時」の数字が「0時」のところに配置される理由を説明できる。

乗法は加法から得られる。例えば、テンプレート:Math を計算したければ、これを テンプレート:Math という和の形に書き直して、テンプレート:Math を引けばよい。テンプレート:Math なら「16時」は テンプレート:Math で「4時」なので テンプレート:Math となる。

そういうわけで、「時間」にこのような加法や乗法を考えたものとして剰余類環 テンプレート:Math を表すことができる。

本節で テンプレート:Math としていたところを、任意の自然数 テンプレート:Mvar に置き換えても同じことができる。たとえば テンプレート:Mathにおいては テンプレート:Math である。

2 を法とする剰余類環

整数を テンプレート:Math で割った剰余は テンプレート:Math か テンプレート:Math となるから、テンプレート:Mathであり、これはすべての剰余類環のなかで位数最小のものである。また、テンプレート:Math は素数なのでこれは位数最小の有限体 テンプレート:Math とも一致する。

3 を法とする剰余類環

法 テンプレート:Math に関する剰余類は

• $\mathrm{𝟎}:=[0]=\{\dots ,-6,-3;0,3,6,9,12,\dots \}$: テンプレート:Math で割り切れるもの
• $\mathrm{𝟏}:=[1]=\{\dots ,-5,-2;1,4,7,10,13,\dots \}$: テンプレート:Math で割って テンプレート:Math 余るもの
• $\mathrm{𝟐}:=[2]=\{\dots ,-4,-1;2,5,8,11,14,\dots \}$: テンプレート:Math で割って テンプレート:Math 余るもの

の三種類である。ここでたとえば、テンプレート:Math を計算したいときは、テンプレート:Math および テンプレート:Math で テンプレート:Math だから テンプレート:Math とすればよい。このようにして テンプレート:Mathにおける演算表

加法 + 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

乗法 × 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

が得られる。テンプレート:Math は環であり、この場合さらに体となり、テンプレート:Math で表される（英語で体を意味する テンプレート:Lang に由来）。

4 を法とする剰余類環

もうひとつ、法 4 に関する剰余類を考えよう。テンプレート:Mathは

• $\mathrm{𝟎}=\{\dots ,-4;0,4,8,12,16,\dots \}$
• $\mathrm{𝟏}=\{\dots ,-3;1,5,9,13,17,\dots \}$
• $\mathrm{𝟐}=\{\dots ,-2;2,6,10,14,18,\dots \}$
• $\mathrm{𝟑}=\{\dots ,-1;3,7,11,15,19,\dots \}$

で与えられる。この剰余類の乗法では テンプレート:Math となり、テンプレート:Math は零因子である。したがって、テンプレート:Mathは乗法について閉じていない。このことから、代数系 テンプレート:Math は（テンプレート:Math を法とする剰余類環として）可換環を成すのみで、零因子が乗法逆元を持たないため体にはならない（位数 テンプレート:Math の有限体 テンプレート:Math は存在するにもかかわらず、である）。

計算機

コンピュータなど計算機において多用される固定長の整数型の演算は、剰余類環における演算である。たとえば16ビットの場合 テンプレート:Math であるから（しばしば short integer として扱われる）16ビット整数の全体は剰余類環 テンプレート:Math を成す。たとえば、足し算 テンプレート:Math の結果として計算機は テンプレート:Math を返し、テンプレート:Math も同様に テンプレート:Math になる（以上は符号無し（unsigned）の場合）。

一般化

剰余類の概念は整数環ではないほかの環に対しても考えることができる。イデアルの概念を定義して、イデアルを法とする剰余類を構成すれば、それらの全体は再び環を成し、環のイデアルによる剰余（類）環あるいは商環と呼ばれる。