ノイベルグ三次曲線

ユークリッド幾何学において、ノイベルグ三次曲線（ノイベルクさんじきょくせん、テンプレート:Lang-en-short）とは三角形に対して一意に決まる曲線の一種である。ヨーゼフ・ノイベルグにちなんで名付けられた^[1]^[2]。21点3次曲線、あるいは37点3次曲線とも呼ばれる。Bernard Gibert のCubics in the triangle planeでは K001 として登録されている^[1]。

定義

ノイベルグ三次曲線は様々な定義ができる。その一つはテンプレート:Mathについて、それぞれの辺でテンプレート:Mvarを鏡映した点をテンプレート:Mathで表したときに、テンプレート:Mathが一点で交わるようなテンプレート:Mvarの軌跡である。他には、テンプレート:Math の外心をテンプレート:Mathとし、テンプレート:Mathが一点で交わるようなテンプレート:Mvarの軌跡とも定義される。しかし、このように定義された軌跡が本当に三次曲線であるかは自明ではない。

ノイベルグは以下の式を満たす点の軌跡を定義とした。

| \begin{matrix} 1 & B C^{2} + A P^{2} & B C^{2} \times A P^{2} \\ 1 & C A^{2} + B P^{2} & C A^{2} \times B P^{2} \\ 1 & A B^{2} + C P^{2} & A B^{2} \times C P^{2} \end{matrix} | = 0

B. H. Brown は1925年の論文で、「Pとその等角共役点を通る直線がオイラー線と平行になる点Pの軌跡」と定義している^[3]。

テンプレート:Mathの辺をテンプレート:Mathとする。ノイベルグ三次曲線上の点は重心座標をテンプレート:Math として以下の等式を満たす。

\sum_{cyclic} [a^{2} (b^{2} + c^{2}) - (b^{2} - c^{2})^{2} - 2 a^{4}] x (c^{2} y^{2} - b^{2} z^{2}) = 0

古い文献では、ノイベルグ三次曲線は一般に21点三次曲線と呼ばれている。これはノイベルグ自身が以下の21個の点をこの曲線上に発見したことによる ^[3]。

1925年の B. H. Brown の論文では、新たに16個の有名点がノイベルグ三次曲線上にあることが発見された（これが37点3次曲線と言われる所以である）^[4]。この16点のうち4つは、この三角形の内心と傍心である^[3]。

その後、ノイベルグ三次曲線上に見つかった点には以下のようなものがある^[1]。

虚円点を通る3次曲線は「circular cubic」と呼ばれるが、ノイベルグ三次曲線はcircular cubicである。
点Pとその等角共役点と、ある点Xが共点であるようなPの軌跡はXの「pivotal isogonal cubic」と呼ばれるが、ノイベルグ三次曲線はオイラー無限遠点のpivotal isogonal cubicである。
三角形ABCと点PについてAPのPを通る垂線とBCの交点、BPのPを通る垂線とCAの交点、CPのPを通る垂線と、ABの交点は共線で、その線の三線極をP*とする。P,P*,Xが共線であるようなPの軌跡はXの「pivotol orthocubic」または「orthopivotal cubic」と呼ばれるが、ノイベルグ三次曲線は外心のorthopivotal cubic である^[1]。