ジェラベク双曲線

ジェラベク双曲線(緑)、オイラー線(赤)の等角共役点の軌跡

幾何学において、ジェラベク双曲線テンプレート:Efn（ジェラベクそうきょくせん、テンプレート:Lang-en-short）は、チェコの数学者テンプレート:仮リンクにちなんで名付けられた、三角形の頂点、外心、垂心などを通る双曲線である。オイラー線の等角共役点の軌跡としても定義される。

双曲線上の点

ジェラベク双曲線は、三角形の頂点、外心、垂心の他、以下の点などを通る。番号は三角形の中心、 Encyclopedia of Triangle Centers を参照。

• 類似重心テンプレート:Math、重心テンプレート:Mathの等角共役
• コスニタ点テンプレート:Math、九点円の中心テンプレート:Mathの等角共役
• ド・ロンシャン点テンプレート:Mathの等角共役テンプレート:Math
• 接触三角形の垂心テンプレート:Math、シフラー点テンプレート:Mathの等角共役
• プラソロフ点テンプレート:Math、垂心三角形の垂心三角形と元の三角形の配景の中心テンプレート:Mathの等角共役
• 逆補三角形の類似重心テンプレート:Math、接線三角形と垂心三角形の相似の中心テンプレート:Mathの等角共役

双曲線の中心

Encyclopedia of Triangle Centers では、ジェラベク双曲線の中心（Jerabek center）はテンプレート:Mathとして登録されており、三線座標によって以下の式で与えられる。

$\cos A{\sin }^2(B-C):\cos B{\sin }^2(C-A):\cos C{\sin }^2(A-B)$

性質

• 九点円上にある。一般に、三角形の頂点と垂心を通る直角双曲線の中心は九点円上にある（ポンスレ束）。
• キーペルト放物線の焦点テンプレート:Mathを重心を中心に-1/2倍拡大した点（補点）である。
• 重心、タリ―点、テンプレート:Mathと共線である。

式

ジェラベク双曲線は、三線座標テンプレート:Mathを用いて、以下の式で表される。

$\frac{a(\sin 2B-\sin 2C)}{x}+\frac{b(\sin 2C-\sin 2A)}{y}+\frac{c(\sin 2A-\sin 2B)}{z}=0$

第四交点

ジェラベク双曲線と外接円の第四交点は Encyclopedia of Triangle Centers でテンプレート:Mathとして登録されており、三線座標は以下の式で与えられる。

$\frac{1}{\cos A-2\cos B\cos C}:\frac{1}{\cos B-2\cos C\cos A}:\frac{1}{\cos C-2\cos A\cos B}$

性質

• オイラー無限遠点の等角共役点である。
• テンプレート:Mathと垂心の中点はテンプレート:Mathである。
• テンプレート:Mathはノイベルグ三次曲線上にある。
• 外接円に関する、テンプレート:Mathの対蹠点である。
• ド・ロンシャン点とプラソロフ点と共線である。

関連項目

• キーペルト双曲線
• フォイエルバッハ双曲線
• 三角形の円錐曲線
• 外接円錐曲線