三角形の円錐曲線

ユークリッド幾何学において、三角形の円錐曲線または三角形の二次曲線（英:Triangle conic）は三角形に定義される、円錐曲線の総称である。 たとえば、外接円や内接円、シュタイナー楕円、キーペルト双曲線が挙げられる。ほかに、それぞれの頂点または対辺ごとに定義される、アルツト放物線のようなものもある。

三角形の円錐曲線と言う言葉に、明確な定義は存在せず、文献の中で広く使われている （などを参照）。ギリシャの数学者Paris Pamfilosは「円錐曲線が外接するとは、テンプレート:Mathの頂点3つを通ることであり、円錐曲線が内接するとは3辺に接することである」と述べた。三角形の円、楕円、放物線、双曲線（triangle circle,ellipse,parabola,hyperbola）といった言葉も同様に定義された。

Encyclopedia of Triangle CentersやCatalogue of Triangle Cubicsのような、三角形に対する図形の辞典のようなもので、円錐曲線がまとめられているものは2024年現在、存在しない。

三線座標による式

三線座標テンプレート:Mathを用いて任意の円錐曲線は以下の式で表される。$$r{x}^2+s{y}^2+t{z}^2+2uyz+2vzx+2wxy=0.$$うち、外接円錐曲線と内接円錐曲線は以下の式で表すことができる。$$\begin{array}{cc}& uyz+vzx+wxy=0\\ & l^2{x}^2+m^2{y}^2+n^2{z}^2-2mnyz-2nlzx-2lmxy=0\end{array}$$

特別な三角形の円錐曲線

以下に有名な円錐曲線を挙げる。基準となる三角形をテンプレート:Math 、頂点及び角をテンプレート:Mvar、その対辺をそれぞれテンプレート:Mvar、とする。また、円錐曲線をあらわす三線座標の変数をテンプレート:Mathとする。

三角形の円

有名な三角形の円

No.	名称	定義	等式	図
1	外接円	頂点3つを通る円	$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$	テンプレート:Mathの外接円
2	内接円	3辺に接する内側の円	$\pm \sqrt{x}\cos \frac{A}{2}\pm \sqrt{y}\cos \frac{B}{2}\pm \sqrt{z}\cos \frac{C}{2}=0$	テンプレート:Mathの内接円
3	傍接円	辺の一つとは辺の内部で接し、他2辺とは延長線上で接する円	$\begin{array}{cc}\pm \sqrt{-x}\cos \frac{A}{2}\pm \sqrt{y}\cos \frac{B}{2}\pm \sqrt{z}\cos \frac{C}{2}& =0\\ \pm \sqrt{x}\cos \frac{A}{2}\pm \sqrt{-y}\cos \frac{B}{2}\pm \sqrt{z}\cos \frac{C}{2}& =0\\ \pm \sqrt{x}\cos \frac{A}{2}\pm \sqrt{y}\cos \frac{B}{2}\pm \sqrt{-z}\cos \frac{C}{2}& =0\end{array}$	内接円と傍接円
4	九点円	辺の中点、頂垂線の足、垂心と頂点の中点などを通る円	$\begin{array}{cc}& x^2\sin 2A+y^2\sin 2B+z^2\sin 2C-\\ & 2(yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C)=0\end{array}$	九点円
5	第一ルモワーヌ円	ルモワーヌ点を通り、各辺に平行な線と、他2辺の交点を通る円		第一ルモワーヌ円

三角形の楕円

有名な三角形の楕円

No.	名称	定義	等式	図
1	シュタイナー外接楕円	テンプレート:Mathの頂点を通り、重心を中心に持つ楕円	$\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}=0$	テンプレート:Mathのシュタイナー楕円
2	シュタイナーの内接楕円	各辺と接し、重心を中心にもつ楕円	$\begin{array}{cc}& a^2{x}^2+b^2{y}^2+c^2{z}^2-\\ & 2bcyz-2cazx-2abxy=0\end{array}$	テンプレート:Mathのシュタイナーの内接楕円

三角形の双曲線

三角形の双曲線

No.	名称	定義	等式	図形
1	キーペルト双曲線	3つの相似な二等辺三角形テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math, を三角形の同じ側に作ったときテンプレート:Mvarが交わる点の軌跡	$\frac{\sin (B-C)}{x}+\frac{\sin (C-A)}{y}+\frac{\sin (A-B)}{z}=0$	テンプレート:Mathのキーペルト双曲線。垂心テンプレート:Mvarと重心テンプレート:Mvar、頂点テンプレート:Mvarを通る。.
2	ジェラベク双曲線	三角形の頂点、垂心、外心を通る双曲線	$\begin{array}{cc}& \frac{a(\sin 2B-\sin 2C)}{x}+\frac{b(\sin 2C-\sin 2A)}{y}\\ & +\frac{c(\sin 2A-\sin 2B)}{z}=0\end{array}$	テンプレート:Mathのジェラベク双曲線
3	フォイエルバッハ双曲線	三角形の頂点、垂心、内心を通る円	$\begin{array}{cc}& \frac{\cos B-\cos C}{x}+\frac{\cos C-\cos A}{y}\\ & +\frac{\cos A-\cos B}{z}=0\end{array}$	テンプレート:Mathのフォイエルバッハ双曲線

三角形の放物線

有名な三角形の放物線

No.	名称	定義	等式	図
1	アルツト放物線	テンプレート:Mvarでテンプレート:Mvarと接する放物線（他2組についても同様）	$\begin{array}{cc}\frac{x^2}{a^2}-\frac{4yz}{bc}& =0\\ \frac{y^2}{b^2}-\frac{4zx}{ca}& =0\\ \frac{z^2}{c^2}-\frac{4xy}{ab}& =0\end{array}$	テンプレート:Mathのアーツ放物線
2	キーペルト放物線	3つの相似な二等辺三角形テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Mathを同じ側に作ったとき、テンプレート:Mathとテンプレート:Math の配景の軸が成す包絡線	$\begin{array}{cc}& f^2{x}^2+g^2{y}^2+h^2{z}^2-\\ & 2fgxy-2ghyz-2hfzx=0,\\ & \text{where }f=b^2-c^2,\\ & g=c^2-a^2,h=a^2-b^2.\end{array}$	テンプレート:Mathのキーペルト放物線。テンプレート:Mvarの包絡線である。

三角形の円錐曲線の族

ホフスタッター楕円

テンプレート:Mathのホフスタッター楕円

ホフスタッター楕円（Hofstadter ellipses）はある媒介変数によってあらわされる楕円の集合である。$$x^2+y^2+z^2+yz[D(t)+\frac{1}{D(t)}]+zx[E(t)+\frac{1}{E(t)}]+xy[F(t)+\frac{1}{F(t)}]=0$$ただし テンプレート:Mvar は媒介変数で$$\begin{array}{cc}D(t)& =\cos A-\sin A\cot tA\\ E(t)& =\cos B-\sin B\cot tB\\ F(t)& =\cos C-\sin C\cot tC\end{array}$$である。 テンプレート:Mvar と テンプレート:Math が表す楕円は等しい。また テンプレート:Mathのとき内接楕円$$x^2+y^2+z^2-2yz-2zx-2xy=0$$となり テンプレート:Mathとすると外接楕円$$\frac{a}{Ax}+\frac{b}{By}+\frac{c}{Cz}=0.$$となる。

トムソン円錐曲線とダルブー円錐曲線

トムソン円錐曲線（Thomson Conics）は、各辺との接点を通る、各辺の法線が共点である内接円錐曲線の集合である。ダルブ―円錐曲線（Darboux Conics）は頂点での円錐曲線の法線が共点である外接円錐曲線である。双方の共点は、ダルブ―三次曲線上にある。

平行線との交点により構成される円錐曲線

平行線によって構築される円錐曲線

テンプレート:Mvarと点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarを通るテンプレート:Mvarに平行な線と、他2辺との交点をそれぞれテンプレート:Mvarとする。この6点は同一円錐曲線上にある。特にテンプレート:Mvarが類似重心であるとき円となる。テンプレート:Mvarの三線座標をテンプレート:Mvarとすると、6点を通る円錐曲線は以下の式で表される。

$$-(u+v+w{)}^2(bcuyz+cavzx+abwxy)+(ax+by+cz)(vw(v+w)ax+wu(w+u)by+uv(u+v)cz)=0$$

九点円錐曲線

九点円錐曲線

テンプレート:詳細記事 テンプレート:Mvarと点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarの中点と、テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarの交点の計9点を通る円錐曲線を九点円錐曲線（Nine-point conic）という。テンプレート:Mvarが垂心のとき円（九点円）、重心のとき内接楕円（シュタイナーの内接楕円）となる。

イフ円錐曲線

イフ円錐曲線

媒介辺数 $\lambda$を用いて、$$x^2+y^2+z^2-2\lambda (yz+zx+xy)=0,$$で表される円錐曲線をイフ円錐曲線（Yff conics）という 。任意の点テンプレート:Mathによって$\lambda$は$$\lambda =\frac{u^2+v^2+w^2}{2(vw+wu+uv)}.$$で表される。特に放物線（イフ放物線、Yff parabola）の時は$$\lambda =\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2-2(bc+ca+ab)}={\lambda }_0$$である。

$\lambda <{\lambda }_0$ または $\lambda >\frac{1}{2}$のとき楕円、 ${\lambda }_0<\lambda <-1$のとき双曲線となる。 $-1<\lambda <\frac{1}{2}$のときは、座標平面上には表れない。

ラビノヴィッツ円錐曲線

ラビノヴィッチ円錐曲線

テンプレート:Mvarと点テンプレート:Mvarについて、同じ向きにテンプレート:Mvarで、テンプレート:Mvarを満たすように点テンプレート:Mvarをとると、その6点は同一円錐曲線上にある。これをラビノヴィッツ円錐曲線（Rabinowitz Conics）と言う。

関連

• 三角形の中心
• Central line
• テンプレート:仮リンク
• 三角形の三次曲線
• 近代三角形幾何学