シュタイナーの内接楕円

3頂点が(1,7), (7,5), (3,1) である三角形とシュタイナーの内接楕円。テンプレート:仮リンクにより、 $\begin{array}{cc}& D_x(1+7i-x)(7+5i-x)(3+i-x)\\ & =-3(3+5i-x)(\frac{13}{3}+\frac{11}{3}i-x)\end{array}$ であるから、焦点の座標は (3,5) と (13/3,11/3) になる。

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幾何学における三角形のシュタイナーの内接楕円（シュタイナーのないせつだえん）は、三角形の3辺の中点でその三角形に接する楕円である。中点楕円、ガウス楕円とも呼ばれる。この楕円はデリーによってヤコブ・シュタイナーに属するものとされ、カルマンにより独立に証明されている 。

シュタイナーの名前を冠するシュタイナー楕円は、この楕円との対比から「シュタイナーの外接楕円」と呼ばれることもある。

以下の解説で特に説明がない場合、a, b, c は三角形の3辺の長さを表す。

三角形上の座標による表記

シュタイナーの内接楕円の座標は三線座標によって以下のように表される。

$a^2{x}^2+b^2{y}^2+c^2{z}^2-2abxy-2bcyz-2cazx=0$

重心座標では以下のようになる。

$x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx=0$

性質

• シュタイナーの内接楕円の中心は、元の三角形の重心である。重心を中心とする唯一の内接楕円であるテンプレート:Rp。
• シュタイナーの内接楕円の面積は、内接楕円の中で最も大きい。その面積は元の三角形の面積の $\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$倍であるテンプレート:Rp テンプレート:Rp。
• シュタイナー楕円とは重心を共有するとともに相似の関係にあり、相似比は 1:2 であるとともに、両楕円の長軸および短軸はそれぞれ同一直線上に在る。したがって両楕円の焦点もまた同一直線上に在り、離心率は等しく、面積比は 1:4 である。
• 三角形に内接する二次曲線のうち、2辺以上の中点に接するのはシュタイナーの内接楕円のみである。
• シュタイナーの内接楕円は中点三角形のシュタイナー楕円である。
• シュタイナーの内接楕円の長軸と短軸の長さは以下の式で表される。

$\frac{1}{6}\sqrt{a^2+b^2+c^2\pm 2Z},$

焦点間の長さは以下になる。

$\frac{1}{3}\sqrt{Z}$

ただし Z は以下の式で与えられる。

$Z=\sqrt{a^4+b^4+c^4-a^2{b}^2-b^2{c}^2-c^2{a}^2}.$

• 複素数平面において、三角形の3つの頂点の座標を零点にもつような3次式を考えたとき、シュタイナーの内接楕円の焦点の座標はその3次式の導関数の零点となる（テンプレート:仮リンク、冒頭の図も参照。）。
• 長軸は、3頂点からの距離が最も短くなる直線上にあるテンプレート:Rp 。
• G, F₊, F₋ を三角形の重心と2つのフェルマー点とする。シュタイナーの内接楕円の長軸は∠F₊GF₋の2等分線上にある。また、2つの軸の長さは |GF₋| ± |GF₊| という式で表されるテンプレート:Rp。
• シュタイナー内接楕円の2つの軸はキーペルト放物線に接する。
• シュタイナー内接楕円の2つの焦点は17点3次曲線上にある。
• クラーク・キンバリングの「BICENTRIC PAIRS OF POINTS」ではP(118),U(118)として登録されており、重心座標は以下の式で表される。すなわち、

$V=2a^2{b}^2{c}^2{Z}^3,W=b^6{c}^6+c^6{a}^6+a^6{b}^6-3a^4{b}^4{c}^4-(b^4{c}^4+c^4{a}^4+a^4{b}^4)Z^2,$

$f(a,b,c)=(b^2-c^2)(a^4-b^4{c}^4-a^{2}Z)+\sqrt{V-W}$

として

$f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b),f(a,c,b):f(b,a,c):f(c,b,a)$

• 三角形ABCに内接する楕円の焦点を P, Q とすると以下の式が成り立つ。

$\frac{\overline{PA}\cdot \overline{QA}}{\overline{CA}\cdot \overline{AB}}+\frac{\overline{PB}\cdot \overline{QB}}{\overline{AB}\cdot \overline{BC}}+\frac{\overline{PC}\cdot \overline{QC}}{\overline{BC}\cdot \overline{CA}}=1.$

• △ABCと重心に対する九点円錐曲線である。