アメーバ (数学)のソースを表示

{{要改訳}}
{{for|集合論のアメーバ|{{仮リンク|アメーバ順序|en|amoeba order}}(amoeba order) }}
[[Image:Amoeba of p=w-2z-1.svg|right|thumb|''P(''z'',''w'')=''w''-2''z''-1'' のアメーバ]]
[[Image:Amoeba2.svg|right|thumb|''P''(''z'', ''w'')=3''z''<sup>2</sup>+5''zw''+''w<sup>3</sup>+1 のアメーバ。アメーバの中には[[液胞]]があることに注意。]]

[[Image:Amoeba3.svg|right|thumb|''P''(''z'', ''w'') = 1 + ''z''+''z''<sup>2</sup> 
+ ''z''<sup>3</sup> + ''z''<sup>2</sup>''w''<sup>3</sup>
+ 10''zw'' + 12''z''<sup>2</sup>''w''
+10''z''<sup>2</sup>''w''<sup>2</sup> のアメーバ]]
[[Image:Amoeba4 400.svg|right|thumb|''P''(''z'', ''w'')=50 ''z''<sup>3</sup>
+83 ''z''<sup>2</sup> ''w''+24 ''z w''<sup>2</sup>
+''w''<sup>3</sup>+392 ''z''<sup>2</sup>
 +414 ''z w''+50 ''w''<sup>2</sup>
 -28 ''z'' +59 ''w''-100 のアメーバ]] 
<!--
[[Image:Amoeba of x+y+z-1.png|right|thumb|Points in the amoeba of
''P''(''x'',''y'',''z'')=''x''+''y''+''z''-1<br>
のアメーバの中の点。アメーバは曲面ではなく、3-次元であることに注意。（これはイメージからは全く明らかとは言えない。]]
-->
数学の一分野である[[複素解析]]において、'''アメーバ'''（{{lang-en-short|amoeba}}）は、一変数、あるいは[[多変数複素関数|多変数]]の[[多項式]]に関連した[[集合]]である。アメーバは[[代数幾何学]]、特に、[[トロピカル幾何学]]へ応用を持っている。
<!--{{for|amoebas in set theory|amoeba order}}
[[Image:Amoeba of p=w-2z-1.svg|right|thumb|The amoeba of<br> 
''P(''z'',''w'')=''w''-2''z''-1.]]
[[Image:Amoeba2.svg|right|thumb|The amoeba of<br> 
''P''(''z'', ''w'')=3''z''<sup>2</sup>+5''zw''+''w<sup>3</sup>+1.<br> 
Notice the "[[vacuole]]" in the middle of the amoeba.]]

[[Image:Amoeba3.svg|right|thumb|The amoeba of <br>
''P''(''z'', ''w'') = 1 + ''z''+''z''<sup>2</sup> 
+ ''z''<sup>3</sup> + ''z''<sup>2</sup>''w''<sup>3</sup>
+ 10''zw'' + 12''z''<sup>2</sup>''w''
+10''z''<sup>2</sup>''w''<sup>2</sup>.
]]
[[Image:Amoeba4 400.svg|right|thumb|The amoeba of<br>
''P''(''z'', ''w'')=50 ''z''<sup>3</sup>
+83 ''z''<sup>2</sup> ''w''+24 ''z w''<sup>2</sup>
+''w''<sup>3</sup>+392 ''z''<sup>2</sup>
 +414 ''z w''+50 ''w''<sup>2</sup>
 -28 ''z'' +59 ''w''-100.
]]

[[Image:Amoeba of x+y+z-1.png|right|thumb|Points in the amoeba of<br>
''P''(''x'',''y'',''z'')=''x''+''y''+''z''-1.
Note that the amoeba is actually 3-dimensional, and not a surface,
(this is not entirely evident from the image).
]]

In [[complex analysis]], a branch of [[mathematics]], an '''amoeba''' is a [[Set (mathematics)|set]] associated with a [[polynomial]] in one or more [[several complex variables|complex variables]]. Amoebas have applications in [[algebraic geometry]], especially [[tropical geometry]].-->

== 定義 ==
[[ユークリッド空間]] <math>\mathbb R^n</math> 上に値を持つ 0 を除く[[複素数]] ''n''-組 <math>z=(z_1, z_2, \dots, z_n)</math> の集合上に定義され、式

:<math>\mathrm{Log}(z_1, z_2, \dots, z_n)= (\log |z_1|, \log|z_2|, \dots, \log |z_n|).\,</math>

により与えられる函数

:<math>\mathrm{Log}\colon \left({\mathbb C}\backslash\{0\}\right)^n \to \mathbb R^n</math>

を考える。ここに 'log' は、[[自然対数]]を表す。''p''(''z'') が <math>n</math> 変数の多項式であれば、その'''アメーバ'''(amoeba) <math>{\mathcal A}_p</math> は ''p'' の[[関数の零点|零点]]の集合の Log による[[像 (数学)|像]]として定義される。

: <math>{\mathcal A}_p = \left\{\operatorname{Log} z \, : \, z\in \left({\mathbb C}\backslash\{0\}\right)^n, p(z)=0\right\}.\,</math>

アメーバは 1994年、[[イズライル・ゲルファント]](Israel Gelfand)、カプラノフ(Kapranov)、{{仮リンク|アンドレイ・ゼレヴィンスキー|en|Andrei Zelevinsky}}(Andrei Zelevinsky)の書籍<ref>
{{cite book
 | last1=Gelfand | first1=I. M. | author1-link=Israel Gelfand
 | first2=M.M. | last2=Kapranov | first3=A.V. | last3=Zelevinsky | author3-link=Andrei Zelevinsky
 | title      = Discriminants, resultants, and multidimensional determinants
 | publisher  = Birkhäuser | location=Boston, MA
 | year       = 1994
 | zbl=0827.14036
 | isbn       = 0-8176-3660-9
 | series=Mathematics: Theory & Applications
}}</ref>で導入された。
<!--==Definition==
Consider the function

:<math>\mathrm{Log}: \left({\mathbb C}\backslash\{0\}\right)^n \to \mathbb R^n</math>

defined on the set of all ''n''-[[tuple]]s <math>z=(z_1, z_2, \dots, z_n)</math> of non-zero [[complex number]]s with values in the [[Euclidean space]] <math>\mathbb R^n,</math> given by the formula
:<math>\mathrm{Log}(z_1, z_2, \dots, z_n)= (\log |z_1|, \log|z_2|, \dots, \log |z_n|).\,</math>

Here, 'log' denotes the [[natural logarithm]]. If ''p''(''z'') is a polynomial in <math>n</math> complex variables, its '''amoeba''' <math>{\mathcal A}_p</math> is defined as the [[image (mathematics)|image]] of the set of [[root of a function|zeros]] of ''p'' under Log, so

: <math>{\mathcal A}_p = \left\{\mathrm{Log} (z) \, : \, z\in \left({\mathbb C}\backslash\{0\}\right)^n, p(z)=0\right\}.\,</math>

Amoebas were introduced in 1994 in a book by [[Israel Gelfand|Gelfand]], Kapranov, and [[Andrei Zelevinsky|Zelevinsky]].<ref>
{{cite book
 | last1=Gelfand | first1=I. M. | author1-link=Israel Gelfand
 | first2=M.M. | last2=Kapranov | first3=A.V. | last3=Zelevinsky | author3-link=Andrei Zelevinsky
 | title      = Discriminants, resultants, and multidimensional determinants
 | publisher  = Birkhäuser | location=Boston, MA
 | year       = 1994
 | zbl=0827.14036
 | isbn       = 0-8176-3660-9
 | series=Mathematics: Theory & Applications
}}</ref>-->

==性質==

* アメーバは[[閉集合]]である。
* [[差集合|補空間]] <math>\mathbb R^n\backslash {\mathcal A}_p</math> の[[連結空間|連結成分]]は、[[凸集合|凸]]である<ref name=IMS3>Itenberg et al (2007) p.3</ref>。
* 2変数の恒等的に 0 ではない多項式のアメーバの面積は、有限である。
* 2次元のアメーバは、多くの「触手」を持ち、触手は無限に長く、無限遠点では指数的に狭くなる。
<!--==Properties==

* Any amoeba is a [[closed set]].
* Any [[connected space|connected component]] of the [[complement (set theory)|complement]] <math>\mathbb R^n\backslash {\mathcal A}_p</math> is [[convex set|convex]].<ref name=IMS3>Itenberg et al (2007) p.3</ref>
* The area of an amoeba of a not identically zero polynomial in two complex variables is finite.
* A two-dimensional amoeba has a number of "tentacles" which are infinitely long and exponentially narrow towards infinity.-->

==ロンキン函数==

アメーバを研究する有効なツールが、'''ロンキン函数'''(Ronkin function)である。''n'' （複素）変数の多項式 ''p''(''z'') に対し、式

: <math>N_p(x)=\frac{1}{(2\pi i)^n}\int_{\mathrm{Log}^{-1}(x)}\log|p(z)| \,\frac{dz_1}{z_1} \wedge  \frac{d z_2}{z_2}\wedge\cdots \wedge \frac{d z_n}{z_n},</math>

により、ロンキン函数を、

: <math>N_p:\mathbb R^n \to \mathbb R</math>

と定義する。ここに <math>x</math> は <math>x=(x_1, x_2, \dots, x_n).</math> を表す。同じことであるが、<math>N_p</math> は積分

: <math>N_p(x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{[0, 2\pi]^n}\log|p(z)| \,d\theta_1\,d\theta_2 \cdots d\theta_n,</math>

により与えられる。ここに

: <math>z=\left(e^{x_1+i\theta_1}, e^{x_2+i\theta_2}, \dots, e^{x_n+i\theta_n}\right)</math>

とする。ロンキン函数は凸函数であり、<math>p(z)</math> のアメーバの補集合の各々の連結成分上では{{仮リンク|アフィン函数|label=アフィン|en|affine function}}(affine)である<ref>{{cite book | last=Gross | first=Mark | chapter=Amoebas of complex curves and tropical curves | zbl=1083.14061 | editor1-last=Guest | editor1-first=Martin | title=UK-Japan winter school 2004—Geometry and analysis towards quantum theory. Lecture notes from the school, University of Durham, Durham, UK, January 6–9, 2004 | location=Yokohama | publisher=Keio University, Department of Mathematics | series=Seminar on Mathematical Sciences | volume=30 | pages=24-36 | year=2004 }}</ref>。

例として、<math>a\ne 0</math> である単項式

: <math>p(z)=az_1^{k_1}z_2^{k_2}\dots z_n^{k_n}</math>

のロンキン函数は、

: <math>N_p(x) = \log|a|+k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_nx_n </math>

である。
<!--==Ronkin function==

A useful tool in studying amoebas is the '''Ronkin function'''. For ''p''(''z'') a polynomial in ''n'' complex variables, one defines the Ronkin function

: <math>N_p:\mathbb R^n \to \mathbb R</math>

by the formula

: <math>N_p(x)=\frac{1}{(2\pi i)^n}\int_{\mathrm{Log}^{-1}(x)}\log|p(z)| \,\frac{dz_1}{z_1} \wedge  \frac{d z_2}{z_2}\wedge\cdots \wedge \frac{d z_n}{z_n},</math>

where <math>x</math> denotes <math>x=(x_1, x_2, \dots, x_n).</math> Equivalently, <math>N_p</math> is given by the integral

: <math>N_p(x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{[0, 2\pi]^n}\log|p(z)| \,d\theta_1\,d\theta_2 \cdots d\theta_n,</math>

where

: <math>z=\left(e^{x_1+i\theta_1}, e^{x_2+i\theta_2}, \dots, e^{x_n+i\theta_n}\right).</math>

The Ronkin function is convex, and it is [[affine function|affine]] on each connected component of the complement of the amoeba of <math>p(z)</math>.<ref>{{cite book | last=Gross | first=Mark | chapter=Amoebas of complex curves and tropical curves | zbl=1083.14061 | editor1-last=Guest | editor1-first=Martin | title=UK-Japan winter school 2004—Geometry and analysis towards quantum theory. Lecture notes from the school, University of Durham, Durham, UK, January 6–9, 2004 | location=Yokohama | publisher=Keio University, Department of Mathematics | series=Seminar on Mathematical Sciences | volume=30 | pages=24-36 | year=2004 }}</ref>

As an example, the Ronkin function of a [[monomial]]

: <math>p(z)=az_1^{k_1}z_2^{k_2}\dots z_n^{k_n}\, </math>

with <math>a\ne 0</math> is 

: <math>N_p(x) = \log|a|+k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_nx_n.\,</math>-->

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{cite book | last1=Itenberg | first1=Ilia | last2=Mikhalkin | first2=Grigory | last3=Shustin | first3=Eugenii | title=Tropical algebraic geometry | zbl=1162.14300 | series=Oberwolfach Seminars | volume=35 | location=Basel | publisher=Birkhäuser | isbn=978-3-7643-8309-1 | year=2007 }}
*{{citation|title=What Is . . . An Amoeba?|volume =49|issue= 8|url=http://www.ams.org/notices/200208/what-is.pdf|last=Viro|first=Oleg|year=2002|pages=916–917|journal=Notices of the American Mathematical Society}}

== さらに進んだ書籍 ==
* {{cite journal | last=Theobald | first=Thorsten | title=Computing amoebas | zbl=1100.14048 | journal=Exp. Math. | volume=11 | number=4 | pages=513-526 | year=2002 | doi=10.1080/10586458.2002.10504703 | url=https://eudml.org/doc/52814 }}

== 外部リンク ==
{{Commons category|Amoeba (mathematics)}}
* [http://www.dm.unipi.it/~bertrand/amoeb-geotrop/node1.html Amoebas of algebraic varieties]

{{DEFAULTSORT:あめえばすうかく}}
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]