アメーバ (数学)

数学の一分野である複素解析において、アメーバ（テンプレート:Lang-en-short）は、一変数、あるいは多変数の多項式に関連した集合である。アメーバは代数幾何学、特に、トロピカル幾何学へ応用を持っている。

定義

ユークリッド空間 $ℝ^{n}$ 上に値を持つ 0 を除く複素数 n-組 $z = (z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n})$ の集合上に定義され、式

L o g (z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}) = (\log | z_{1} |, \log | z_{2} |, \dots, \log | z_{n} |) .

により与えられる函数

L o g : {(ℂ ∖ {0})}^{n} \to ℝ^{n}

を考える。ここに 'log' は、自然対数を表す。p(z) が $n$ 変数の多項式であれば、そのアメーバ(amoeba) $𝒜_{p}$ は p の零点の集合の Log による像として定義される。

𝒜_{p} = {Log z : z \in {(ℂ ∖ {0})}^{n}, p (z) = 0} .

アメーバは 1994年、イズライル・ゲルファント(Israel Gelfand)、カプラノフ(Kapranov)、テンプレート:仮リンク(Andrei Zelevinsky)の書籍^[1]で導入された。

アメーバを研究する有効なツールが、ロンキン函数(Ronkin function)である。n （複素）変数の多項式 p(z) に対し、式

N_{p} (x) = \frac{1}{(2 π i)^{n}} \int_{{L o g}^{- 1} (x)} \log | p (z) | \frac{d z_{1}}{z_{1}} \land \frac{d z_{2}}{z_{2}} \land \dots \land \frac{d z_{n}}{z_{n}},

により、ロンキン函数を、

N_{p} : ℝ^{n} \to ℝ

と定義する。ここに $x$ は $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) .$ を表す。同じことであるが、 $N_{p}$ は積分

N_{p} (x) = \frac{1}{(2 π)^{n}} \int_{[0, 2 π]^{n}} \log | p (z) | d θ_{1} d θ_{2} \dots d θ_{n},

により与えられる。ここに

z = (e^{x_{1} + i θ_{1}}, e^{x_{2} + i θ_{2}}, \dots, e^{x_{n} + i θ_{n}})

とする。ロンキン函数は凸函数であり、 $p (z)$ のアメーバの補集合の各々の連結成分上ではテンプレート:仮リンク(affine)である^[3]。

例として、 $a \neq 0$ である単項式

p (z) = a z_{1}^{k_{1}} z_{2}^{k_{2}} \dots z_{n}^{k_{n}}

のロンキン函数は、

N_{p} (x) = \log | a | + k_{1} x_{1} + k_{2} x_{2} + \dots + k_{n} x_{n}

である。