アラン分散のソースを表示

[[File:AllanDeviation.svg|thumb|right|300px|ある時計をリファレンスの時計と比較するとする。リファレンスの時計が''τ''進む間に、時計が''yτ''進むとする。ここで''y''は時計の相対的な周波数の平均値である。図のように、二つの連続した期間の測定をすることで、{{nowrap|(''y'' − ''y''′)<sup>2</sup>}}が得られる。この値が小さいほどこの時計が安定である。これを繰り返し、{{nowrap|(''y'' − ''y''′)<sup>2</sup>}}の平均値を得ると、それが平均化時間''τ''のアラン分散の2倍となる。]]

'''アラン分散'''（'''Allan variance'''）は、[[時計]]、[[発振器]]、[[アンプ]]における周波数安定度を表す指標である。名前はDavid W. Allanに由来し、数学的には<math>\sigma_y^2( \tau)</math> と表される。
'''アラン偏差'''（'''Allan deviation'''）は、アラン分散の平方根である<math>\sigma_y( \tau)</math> である。

アラン分散は統計的な安定度を推定するためのものであり、周波数ドリフトなどの系統的な誤差を推定するものではない。また、アラン分散には、修正アラン分散をはじめとするいくつかの派生形がある。

[[File:AllanDeviationExample.gif|thumb|right|300px|時計のアラン偏差の例。平均化時間''τ''が小さい時は、''τ''が増えるにつれてノイズがならされ、アラン偏差が減少している。さらに''τ''を増加させると、アラン偏差は増加に転じる。これは時計の周波数がドリフトしていることを示している。]]

== 背景 ==
[[水晶発振器]]や[[原子時計]]の安定性が調べられていた頃、位相ノイズには[[ホワイトノイズ]]のみならず、フリッカー周波数ノイズも存在しているとわかった。これらのノイズの形は、推定値が収束しないため、[[標準偏差]]などの伝統的な統計ツールでは扱いが難しい。安定性を分析する初期の取り組みは、理論的な分析と実用的な測定の両方から行われた<ref name="Cutler1966">{{Citation |last1=Cutler |first1=L. S. |last2=Searle |first2=C. L. |url=http://wwwusers.ts.infn.it/~milotti/Didattica/Segnali/Cutler&Searle_1966.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://wwwusers.ts.infn.it/~milotti/Didattica/Segnali/Cutler&Searle_1966.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live |title=Some Aspects of the Theory and Measurements of Frequency Fluctuations in Frequency Standards |journal=Proceedings of the IEEE |volume=54 |number=2 |date=February 1966 |pages=136–154 |doi=10.1109/proc.1966.4627}}</ref><ref name="Leeson1966">{{Citation|last=Leeson |first=D. B |title=A simple Model of Feedback Oscillator Noise Spectrum |url=http://ccnet.stanford.edu/cgi-bin/course.cgi?cc=ee246&action=handout_download&handout_id=ID113350669026291 |pages=329–330 |journal=Proceedings of the IEEE |volume=54 |number=2 |date=February 1966 |access-date=20 September 2012 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20140201231407/http://ccnet.stanford.edu/cgi-bin/course.cgi?cc=ee246&action=handout_download&handout_id=ID113350669026291 |archive-date=1 February 2014 |doi=10.1109/proc.1966.4682}}</ref>。

この問題を解決するため、David AllanはM-サンプル分散を導入し、間接的にアラン分散（2-サンプル分散）を導入した。アラン分散では、全ての種類のノイズを見分けることはできないが、有意義な情報が得られる。[[IEEE]]はのちに、M-サンプル分散よりもアラン分散（2-サンプル分散）の方が望ましいとみなした<ref name="IEEE1139">{{cite journal | doi = 10.1109/IEEESTD.1999.90575 | title=Definitions of physical quantities for fundamental frequency and time metrology &ndash; Random Instabilities | journal=IEEE STD 1139-1999| isbn=978-0-7381-1753-9 | year=1999 }}</ref>。

== 定義 ==

=== 振動と位相ノイズ ===

振動は以下の式で表される。

: <math>V(t) = V_0 \sin (\Phi(t)).</math>

位相は以下のように表される。
: <math>\Phi(t) = \omega_\text{n}t + \varphi(t) = 2\pi \nu_\text{n}t + \varphi(t).</math>
<math>\nu_\text{n}</math>は基準となる周波数を表し、<math>\varphi(t)</math>は位相ノイズを表す。

=== 周波数 ===
瞬間的な周波数は、位相の時間微分で表される。

: <math>\nu(t) = \frac{1}{2\pi} \frac{d\Phi(t)}{dt}.</math>

=== 規格化された周波数偏差 ===
瞬間的な周波数の、基準となる周波数からの偏差を規格化して、以下の量を定義する。

:<math>y(t) = \frac{\nu(t) - \nu_\text{n}}{\nu_\text{n}} = \frac{\nu(t)}{\nu_\text{n}} - 1.</math>

=== 規格化された周波数偏差の時間平均 ===
規格化された周波数偏差の時間平均は以下のように定義される。

:<math>\bar{y}(t, \tau) = \frac{1}{\tau} \int_0^\tau y(t + t_v) \, dt_v,</math>

ここで''τ''は平均化時間を表す。

=== アラン分散 ===
n番目の周波数偏差を以下のように表すとする。
:<math>\bar{y}_n = \bar{y}(n\tau, \tau)</math>

アラン分散は以下のように定義される。

:<math>\sigma_y^2(\tau) = \frac{1}{2} \left\langle\left(\bar{y}_{n+1} - \bar{y}_n\right)^2\right\rangle</math>

ただし、<math>\langle\dotsm\rangle</math>は期待値を表す。

=== アラン偏差 ===
[[標準偏差]]と[[分散_(確率論)|分散]]の関係と同様に、アラン偏差はアラン分散の平方根として定義される。

:<math>\sigma_y(\tau) = \sqrt{\sigma_y^2(\tau)}.</math>

== べき乗ノイズ ==
アラン分散は、さまざまな[[カラードノイズ|べき乗ノイズ]]を見分けることができる<ref name="NBSTN394">J. A. Barnes, A. R. Chi, L. S. Cutler, D. J. Healey, D. B. Leeson, T. E. McGunigal, J. A. Mullen, W. L. Smith, R. Sydnor, R. F. C. Vessot, G. M. R. Winkler: ''[https://tf.nist.gov/general/tn1337/Tn146.PDF Characterization of Frequency Stability]'', NBS Technical Note 394, 1970.</ref><ref>J. A. Barnes, A. R. Chi, L. S. Cutler, D. J. Healey, D. B. Leeson, T. E. McGunigal, J. A. Mullen, Jr., W. L. Smith, R. L. Sydnor, R. F. C. Vessot, G. M. R. Winkler: ''[https://tf.nist.gov/general/tn1337/Tn146.PDF Characterization of Frequency Stability]'', IEEE Transactions on Instruments and Measurements 20, pp. 105–120, 1971.</ref><ref name=Bregni2002>Bregni, Stefano: [https://books.google.com/books?id=APEBaL4WHNoC ''Synchronisation of digital telecommunication networks''], Wiley 2002, {{ISBN|0-471-61550-1}}.</ref><ref name=NISTSP1065>NIST SP 1065: [https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=50505 ''Handbook of Frequency Stability Analysis''] .</ref>。

{| class="wikitable"
|+ べき乗ノイズに対するアラン分散
|-
!変調の種類
!パワースペクトル密度（位相ノイズ）<br /> <math>S_x(f)</math>
!パワースペクトル密度（周波数ノイズ）<br /> <math>S_y(f)</math>
!アラン分散<br /> <math>\sigma_y^2(\tau)</math>
|-
|白色位相変調
|<math>\frac{1}{(2\pi)^2}h_2f^0</math>
|<math>h_2f^2</math>
|<math>\frac{3 f_H}{4\pi^2}h_2\tau^{-2}</math>
|-
|フリッカー位相変調
|<math>\frac{1}{(2\pi)^2}h_1f^{-1}</math>
|<math>h_1f^1</math>
|<math>\frac{3[\gamma+\ln(2\pi f_H\tau)]-\ln 2}{4\pi^2}h_1\tau^{-2}</math>
|-
|白色周波数変調
|<math>\frac{1}{(2\pi)^2}h_0f^{-2}</math>
|<math>h_0f^0</math>
|<math>\frac{1}{2}h_0\tau^{-1}</math>
|-
|フリッカー周波数変調
|<math>\frac{1}{(2\pi)^2}h_{-1}f^{-3}</math>
|<math>h_{-1}f^{-1}</math>
|<math>2\ln(2)h_{-1}\tau^0</math>
|-
|ランダムウォーク周波数変調
|<math>\frac{1}{(2\pi)^2}h_{-2}f^{-4}</math>
|<math>h_{-2}f^{-2}</math>
|<math>\frac{2\pi^2}{3}h_{-2}\tau^1</math>
|}

アラン分散は、白色位相ノイズとフリッカー位相ノイズを見分けることができない。一方で、修正アラン分散ではこれらを見分けることができる。

== 線形応答 ==
アラン分散は、位相や周波数に乗るノイズを見分けるためのものである。一方で、位相や周波数の線形な変化に対して依存性を示すことがある。

:{| class="wikitable"
|+ アラン分散の線形応答
|-
! Linear effect
! 時間応答
! 周波数応答
! アラン分散
|-
| 位相のオフセット
| <math>x_0</math>
| <math>0</math>
| <math>0</math>
|-
| 周波数のオフセット
| <math>y_0t</math>
| <math>y_0</math>
| <math>0</math>
|-
| 周波数の線形ドリフト
| <math>\frac{Dt^2}{2}</math>
| <math>Dt</math>
| <math>\frac{D^2\tau^2}{2}</math>
|}

上の表より、アラン分散は、位相や周波数に定数のオフセットがついても変化しないが、周波数が線形に変化すると影響を受ける<ref name=Bregni2002/>。

== 関連項目 ==
* [[分散_(確率論)|分散]]
* [[計量学]]

== 出典 ==
{{Reflist}}

{{デフォルトソート:あらんふんさん}}
[[Category:時計]]
[[Category:測定]]