アラン分散

ある時計をリファレンスの時計と比較するとする。リファレンスの時計がτ進む間に、時計がyτ進むとする。ここでyは時計の相対的な周波数の平均値である。図のように、二つの連続した期間の測定をすることで、テンプレート:Nowrapが得られる。この値が小さいほどこの時計が安定である。これを繰り返し、テンプレート:Nowrapの平均値を得ると、それが平均化時間τのアラン分散の2倍となる。

アラン分散（Allan variance）は、時計、発振器、アンプにおける周波数安定度を表す指標である。名前はDavid W. Allanに由来し、数学的には${\sigma }_y^2(\tau )$ と表される。 アラン偏差（Allan deviation）は、アラン分散の平方根である${\sigma }_y(\tau )$ である。

アラン分散は統計的な安定度を推定するためのものであり、周波数ドリフトなどの系統的な誤差を推定するものではない。また、アラン分散には、修正アラン分散をはじめとするいくつかの派生形がある。

時計のアラン偏差の例。平均化時間τが小さい時は、τが増えるにつれてノイズがならされ、アラン偏差が減少している。さらにτを増加させると、アラン偏差は増加に転じる。これは時計の周波数がドリフトしていることを示している。

背景

水晶発振器や原子時計の安定性が調べられていた頃、位相ノイズにはホワイトノイズのみならず、フリッカー周波数ノイズも存在しているとわかった。これらのノイズの形は、推定値が収束しないため、標準偏差などの伝統的な統計ツールでは扱いが難しい。安定性を分析する初期の取り組みは、理論的な分析と実用的な測定の両方から行われた。

この問題を解決するため、David AllanはM-サンプル分散を導入し、間接的にアラン分散（2-サンプル分散）を導入した。アラン分散では、全ての種類のノイズを見分けることはできないが、有意義な情報が得られる。IEEEはのちに、M-サンプル分散よりもアラン分散（2-サンプル分散）の方が望ましいとみなした。

定義

振動と位相ノイズ

振動は以下の式で表される。

$V(t)=V_0\sin (\mathrm{\Phi }(t)).$

位相は以下のように表される。

$\mathrm{\Phi }(t)={\omega }_{\text{n}}t+\phi (t)=2\pi {\nu }_{\text{n}}t+\phi (t).$

${\nu }_{\text{n}}$は基準となる周波数を表し、$\phi (t)$は位相ノイズを表す。

周波数

瞬間的な周波数は、位相の時間微分で表される。

$\nu (t)=\frac{1}{2\pi }\frac{d\mathrm{\Phi }(t)}{dt}.$

規格化された周波数偏差

瞬間的な周波数の、基準となる周波数からの偏差を規格化して、以下の量を定義する。

$y(t)=\frac{\nu (t)-{\nu }_{\text{n}}}{{\nu }_{\text{n}}}=\frac{\nu (t)}{{\nu }_{\text{n}}}-1.$

規格化された周波数偏差の時間平均

規格化された周波数偏差の時間平均は以下のように定義される。

$\overline{y}(t,\tau )=\frac{1}{\tau }\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}y(t+t_v)d{t}_v,$

ここでτは平均化時間を表す。

アラン分散

n番目の周波数偏差を以下のように表すとする。

${\overline{y}}_n=\overline{y}(n\tau ,\tau )$

アラン分散は以下のように定義される。

${\sigma }_y^2(\tau )=\frac{1}{2}⟨{({\overline{y}}_{n+1}-{\overline{y}}_n)}^2⟩$

ただし、$⟨\cdots ⟩$は期待値を表す。

アラン偏差

標準偏差と分散の関係と同様に、アラン偏差はアラン分散の平方根として定義される。

${\sigma }_y(\tau )=\sqrt{{\sigma }_y^2(\tau )}.$

べき乗ノイズ

アラン分散は、さまざまなべき乗ノイズを見分けることができる。

べき乗ノイズに対するアラン分散

変調の種類	パワースペクトル密度（位相ノイズ） $S_x(f)$	パワースペクトル密度（周波数ノイズ） $S_y(f)$	アラン分散 ${\sigma }_y^2(\tau )$
白色位相変調	$\frac{1}{(2\pi {)}^2}{h}_2{f}^0$	$h_2{f}^2$	$\frac{3f_H}{4{\pi }^2}{h}_2{\tau }^{-2}$
フリッカー位相変調	$\frac{1}{(2\pi {)}^2}{h}_1{f}^{-1}$	$h_1{f}^1$	$\frac{3[\gamma +\ln (2\pi f_H\tau )]-\ln 2}{4{\pi }^2}{h}_1{\tau }^{-2}$
白色周波数変調	$\frac{1}{(2\pi {)}^2}{h}_0{f}^{-2}$	$h_0{f}^0$	$\frac{1}{2}{h}_0{\tau }^{-1}$
フリッカー周波数変調	$\frac{1}{(2\pi {)}^2}{h}_{-1}{f}^{-3}$	$h_{-1}{f}^{-1}$	$2\ln (2)h_{-1}{\tau }^0$
ランダムウォーク周波数変調	$\frac{1}{(2\pi {)}^2}{h}_{-2}{f}^{-4}$	$h_{-2}{f}^{-2}$	$\frac{2{\pi }^2}{3}{h}_{-2}{\tau }^1$

アラン分散は、白色位相ノイズとフリッカー位相ノイズを見分けることができない。一方で、修正アラン分散ではこれらを見分けることができる。

線形応答

アラン分散は、位相や周波数に乗るノイズを見分けるためのものである。一方で、位相や周波数の線形な変化に対して依存性を示すことがある。

アラン分散の線形応答

Linear effect	時間応答	周波数応答	アラン分散
位相のオフセット	$x_0$	$0$	$0$
周波数のオフセット	$y_{0}t$	$y_0$	$0$
周波数の線形ドリフト	$\frac{D{t}^2}{2}$	$Dt$	$\frac{D^2{\tau }^2}{2}$

上の表より、アラン分散は、位相や周波数に定数のオフセットがついても変化しないが、周波数が線形に変化すると影響を受ける。

関連項目

• 分散
• 計量学