アルキメデスの双子の円のソースを表示

[[ファイル:Archimedes'_Circles.svg|右|サムネイル|400x400ピクセル|アルベロス（緑）の双子の円（赤）]]
[[幾何学]]において、'''アルキメデスの双子の円'''（アルキメデスのふたごのえん、{{Lang-en-short|Twin circles}}）は、[[アルベロス]]に対して定義される二つの特別な[[円 (数学)|円]]である。アルベロスは[[共線]]点{{Mvar|A,B,C}}のうち2つを両端とする同じ側の[[半円]]で作られる領域（[[円弧三角形]]の特別の場合）である。{{Mvar|A,B,C}}の中央の点を通る、直線{{Mvar|ABC}}の垂線を{{Mvar|l}}とする。アルベロスを{{Mvar|l}}で2つの円弧三角形に分割する。2つの円弧三角形の辺、つまり、アルベロスを成す2つの円と{{Mvar|l}}に接する円をアルキメデスの双子の円という。

アルキメデスの双子の円は[[アルキメデス]]の{{仮リンク|補題の書|en|Book of Lemmas}}の命題5が初出であるとみられ、2円は合同であることが示されている<ref>{{仮リンク|トーマス・ヒース (化学者)|en|Thomas Heath (classicist)|label=トーマス・ヒース}}(1897), ''The Works of Archimedes''. [[ケンブリッジ大学出版局]].  ''Book of Lemmas''のProposition 5.  引用: "''Let AB be the diameter of a semicircle, C any point on AB, and CD perpendicular to it, and let semicircles be described within the first semicircle and having AC, CB as diameters. Then if two circles be drawn touching CD on different sides and each touching two of the semicircles, the circles so drawn will be equal.''"</ref>。この書籍をアラビア語に翻訳した[[サービト・イブン・クッラ]]はこの円の功績をアルキメデスに帰した。アルキメデスの円と合同な円の数々は{{仮リンク|アルキメデスの円|en|Archimedean circle}}と呼ばれるが、これは後年の学者らに帰せられる<ref>{{Cite journal|last=Boas|first=Harold P.|author-link=Harold P. Boas|year=2006|title=Reflections on the Arbelos|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/reflections-on-the-arbelos|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=113|issue=3|pages=241|doi=10.1080/00029890.2006.11920301|quote=The source for the claim that Archimedes studied and named the arbelos is the ''Book of Lemmas'', also known as the ''Liber assumptorum'' from the title of the seventeenth century Latin translation of the ninth-century Arabic translation of the lost Greek original. Although this collection of fifteen propositions is included in standard editions of the works of Archimedes, the editors acknowledge that the author of the ''Book of Lemmas'' was not Archimedes but rather some anonymous later compiler, who indeed refers to Archimedes in the third person}}</ref>。

== 構成 ==
[[ファイル:Круги-близнецы.gif|右|サムネイル|アルキメデスの双子の円のアニメーション。]]
アルベロスの頂点を{{Mvar|A,B,C}}とする。ただし{{Mvar|B}}は線分{{Mvar|AC}}内にあるとする。また、{{Mvar|D}}を、アルベロスを構築するもっとも大きい半円（{{Mvar|AC}}を両端とする半円）と{{Mvar|B}}を通る{{Mvar|AC}}の[[垂線]]の交点とする。L線分{{Mvar|BD}}はアルベロスを2つの部分に分かつ。アルキメデスの双子の円はこの2つの部分の[[内接円]]である<ref name="wolframArbelos">{{Cite web |author=Weisstein, Eric W |title="Archimedes' Circles." From MathWorld—A Wolfram Web Resource |url=http://mathworld.wolfram.com/ArchimedesCircles.html |access-date=2008-04-10}}</ref>。

アルキメデスの双子の円は2つの接円と、その一方に接する直線における[[アポロニウスの問題]]の解となる。

アルキメデスの双子の円に合同な円、アルキメデスの円には、[[バンコフの円]]、Schoch の円{{Enlink|Schoch circles}}、Wooの円{{Enlink|Woo circles}}などがある<ref>Floor van Lamoen (2014), ''[http://home.planet.nl/~lamoen/wiskunde/Arbelos/Catalogue.htm A catalog of over fifty Archimedean circles].'' Online document, accessed on 2014-10-08.</ref><ref>Floor van Lamoen (2014), ''[http://home.planet.nl/~lamoen/wiskunde/arbelos/61Dao2.htm Circles (A61a) and (A61b): Dao pair].'' Online document, accessed on 2014-10-08.</ref>。

== 作図 ==
[[ファイル:Zwillingskreise Archimedes konstruktion.svg|サムネイル|274x274ピクセル|双子の円の作図。]]
上気と同様に{{Mvar|A,B,C,D}}を定める。また、直径をそれぞれ{{Mvar|AB,BC}}とする半円の中心を{{Math|''M''{{sub|1}}, ''M''{{sub|2}}}}とする。{{Mvar|C}}を通る半円{{Math|''M''{{sub|1}}}}の接線と、{{Mvar|BD}}の交点を{{Mvar|S}}、半円{{Math|''M''{{sub|1}}}}との接点を{{Mvar|T}}と定義し、{{Math|∠''DST''}}の[[二等分線]]と{{Math|''M''{{sub|1}}''T''}}の交点は、一方の双子の円の中心となる。また、双子の円と{{Math|''M''{{sub|1}}}}の接点は{{Mvar|T}}となる<ref name="Aumann">Günter Aumann: ''Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung''. Springer, 2015, [[Spezial:ISBN-Suche/9783662453063|ISBN 9783662453063]], S. 193–200</ref>。

== 性質 ==
{{Mvar|a,b}}をアルベロスを成す小さい2円の直径とする。アルキメデスの双子の円の半径は次式で表される<ref name="wolframArbelos" />。

: <math>d=\frac{ab}{a+b}.</math>

大きい円の直径を1とすれば、小さい2円の直径はそれぞれ{{Math|''s'' , 1 - ''s''}}となって次のようにも表せる<ref name="wolframArbelos" />。

: <math>d=s(1-s). \, </math>

[[相加相乗平均の関係式]]よりアルキメデスの双子の円の半径が最も大きくなる時は小さい2円の半径が一致するときである<ref name="wolframArbelos" />。

双子の円に接する円のうち、最も小さい円の半径は<math>\sqrt{ab}</math>である<ref name="Gorin II.3.">Baptiste Gorin, ''[http://baptiste.gorin.pagesperso-orange.fr/Docs/arbelos.pdf Une étude de l'arbelos]'', p.6, prop. II.3.</ref>。

== 出典 ==
<references>
</references>

== 参考文献 ==

* {{Cite book|和書 |title=科學 |year=2008 |publisher=[[岩波書店]] |page=145 |url=https://www.google.co.jp/books/edition/%E7%A7%91%E5%AD%B8/q1USAQAAMAAJ |volume=78}}
* {{Cite book|和書 |title=アルベロス 3つの半円がつくる幾何宇宙 |date= |year=2010 |publisher=岩波書店 |isbn=9784000295741 |author=[[奥村博]]、 [[渡邉雅之]]}}
* {{Cite web |url=https://www.researchgate.net/publication/275677752_arukimedesukaranozengriwu_hetongnashuangzinoyuanwomotsufushunoaruberosu |title=アルキメデスからの贈り物 合同な双子の円をもつ複数のアルベロス |access-date=2024-9-22 |author=奥村博}}
{{デフォルトソート:あるきめてすのふたこのえん}}
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]